Question

Треугольник MNK задан координатами своих вершин: M(-6;1), N(2;4), K(2;-2). а) Докажите, что Δ MNK – равнобедренный. б) Найдите высоту, проведенную из вершины М.

Answer 1

найдем ВЕКТОР ПО КООРДИНАТАМ
MN = {2 - (-6); 4 - 1} = {8; 3}
NK = {2 - 2; -2 - 4} = {0; -6}
MK = {2 - (-6); -2 - 1} = {8; -3}

найдем ДЛИНУ ВЕКТОРА

|MN| = √MNx2 + MNy2 = √82 + 32 =√64 + 9 = √73
|NK| = √NKx2 + NKy2 = √02 + (-6)2 = √0 + 36 = √36 = 6
|MK| = √MKx2 + MKy2 = √82 + (-3)2 = √64 + 9 = √73
MN= MK ЗНАЧИТ ТРЕУГОЛЬНИК РАВНОБЕДРЕННЫЙ. 
Высоту МО находим из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора
МK^2=MO^2+OK^2
MO=корень из (MK^2-OK^2)=корень из ((√73)^2-3^2)=корень из 64=8см

Answer 2

а) Для доказательства того, что треугольник MNK является равнобедренным, необходимо проверить, равны ли две его стороны.

Для этого вычислим длины сторон MN, NK и KM с помощью формулы расстояния между двумя точками на плоскости:

MN = √[(2+6)² + (4-1)²] = √8² + 3² = √73

NK = √[(2-2)² + (-2-4)²] = √4² + 6² = √52

KM = √[(-6-2)² + (1+4)²] = √8² + 5² = √89

Таким образом, получаем, что MN ≠ NK ≠ KM, т.е. треугольник MNK не является равнобедренным. Однако, можно заметить, что две из его углов (M и N) равны между собой, так как при этом соответствующие им стороны MN и KM также окажутся равными, то есть Δ MNK все же является равнобедренным.

б) Высотой, проведенной из вершины М, называется отрезок, перпендикулярный стороне NK и проходящий через точку М.

Изобразим треугольник MNK и сторону NK на координатной плоскости:

```
K
|
M----|----N
|
```

Сначала найдем уравнение прямой, содержащей сторону NK. Так как координаты точек N и K по оси OX равны, то прямая проходит через точки N(2;4) и K(2;-2) имеет уравнение x=2.

Так как высота проведена из точки М, то она параллельна оси OX и пересекает сторону NK в точке H с координатами (2;y). Найдем координату y, зная, что отрезок MH перпендикулярен стороне NK.

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника MHN:

MH² = MN² - NH²

NH - искомая высота, равная y-coordinate точки H. MN равна √73, так как была найдена ранее.

HM = |x-coordinate M - x-coordinate H| = |(-6) - 2| = 8

Таким образом, получаем уравнение:

8² = √73² - NH²

64 = 73 - NH²

NH² = 9

NH = 3

Значит, координата точки H равна y=3, а высота, проведенная из точки М, имеет длину 3.