Question

Помогите с задачей по геометрии. Завтра контрольная. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и ВН. Докажите что треугольники СВН и САМ подобны.

Answer 1

угол С - общий

угол ВНС= углу АМС(т.к. ВН и АМ - высоты)

из этих двух утверждений следует, что треугольники СВН и САМ - подобны по 1 признаку

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников СВН и САМ, нужно показать, что у них соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

1. Углы: Угол С равен углу С (очевидно). Угол В равен углу АМС (так как АМ перпендикулярна АВ и СМ перпендикулярна СВ и они пересекаются в точке М). Угол Н равен углу АСМ (так как АС перпендикулярна АВ и МН перпендикулярна ВН и они пересекаются в точке С).

Таким образом, углы СВН и САМ соответственно равны углам САМ и СВН, а значит, первое условие для подобия треугольников выполнено.

2. Стороны: Поскольку АМ и ВН являются высотами, то AM=CS и BN=CS, где СS - общая высота. Также, из прямоугольных треугольников АСМ и ВСН следует:

AM²+CS²=AS² BN²+CS²=BS²

Вычитая эти уравнения друг из друга, получим:

AM²-BN²=AS²-BS²

Также, из прямоугольных треугольников АВС и АМС следует:

AS²=AB²-CS² AM²=AC²-CS²

Вычитая эти уравнения друг из друга, получим:

AM²-AS²=AC²-AB²

Таким образом, мы получили два уравнения:

AM²-BN²=AS²-BS² AM²-AS²=AC²-AB²

Делим первое уравнение на второе:

(AM²-BN²)/(AM²-AS²)=(AS²-BS²)/(AC²-AB²)

Заменяем выражения в скобках, используя равенства из прямоугольных треугольников:

(CS²-BN²)/(CS²-AS²)=(AS²-CS²)/(AC²-AB²)

Упрощаем:

(BN/CS)²=(AB/AC)²

Таким образом, мы доказали, что соответствующие стороны треугольников СВН и САМ пропорциональны, а значит, треугольники СВН и САМ подобны.

Ответ: треугольники СВН и САМ подобны.