Question

образующая конуса 30 см угол между образующей и плоскостью основания конуса равен 60°. Вычислите длину высоты конуса и площадь его основания

Answer 1

С прямоугольго треугольника угол при вершине 90°-60° = 30°. Навпротив угла 30° катет R в 2 раза меньше чем гипотенуза. R=30/2 = 15 см.
Синус угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе
sin 60 = h/30, остюда h=30*sin60=30*√3/2=15√3 см
В основе лежит круг, площадь: S=πR² также есть и площадь основания
Sосн = πR²=π*15²=225π см²

Ответ: 15√3 cм и 225π cм²

Answer 2

Для решения задачи нам понадобятся теорема Пифагора и определение тригонометрических функций.

Обозначим высоту конуса через h, радиус основания через r, а образующую через l.

Так как угол между образующей и плоскостью основания конуса равен 60°, то угол между образующей и высотой конуса будет 30° (поскольку это дополнительный угол к 60°).

Используя определение тангенса, можно записать:

tg(30°) = h/r

Выражая h через r, получаем:

h = r * tg(30°)

Теперь найдем длину образующей, используя теорему Пифагора:

l^2 = r^2 + h^2

Подставляя значение h, получаем:

l^2 = r^2 + (r * tg(30°))^2

l^2 = r^2 + r^2 * tg^2(30°)

l^2 = r^2 * (1 + tg^2(30°))

l = r * √(1 + tg^2(30°))

Вычисляем значения тригонометрических функций:

tg(30°) = √3/3

tg^2(30°) = 1/3

Теперь можем записать окончательные формулы для вычисления h и l:

h = r * tg(30°) = r * √3/3

l = r * √(1 + tg^2(30°)) = r * √4/3 = r * 2/√3

Для вычисления площади основания конуса можно использовать формулу для площади круга:

S = πr^2

Подставляя значение r, получаем:

S = π * (l/tg(30°))^2/4

S = π * (r * 2/√3 / √3/3)^2/4

S = π * r^2 * 4/9

S = 4/9 * π * r^2

Таким образом, мы получили следующие значения:

• Длина высоты конуса: h = r * √3/3
• Длина образующей конуса: l = r * 2/√3
• Площадь основания конуса: S = 4/9 * π * r^2

Для того чтобы найти значение r, необходимо задать значение объема конуса или дополнительные данные.