Question

задача1 соединив середины сторон данного треугольника получаем треугольник, периметр которого равен 65. Найти периметр данного треугольника задача2 Через точку М, лежащую внутри треугольника проведены прямые, параллельные сторонами треугольника. При этом внутри исходного треугольника образуется три треугольника с общей вершиной М, площади которых равны 3;12 и 27. Чему равна площадь исходного треугольника задача3 периметры двух подобных треугольников 18 и 36, а сумма их площадей равна 30. найти площадь большего треугольника.

Answer 1

Каждая из сторон полученного треугольника в два раза меньше соответствующих сторон данного треугольника так как является средней линией.

а, в, с стороны маленького треугольника,Р= а+в+с=65

2а,2в,2с стороны исходного треугольника, Р=2(а+в+с)=2*65=130

Answer 2

Задача 1: Обозначим стороны исходного треугольника через a, b и c, а стороны треугольника, полученного соединением середин, через x, y и z. Известно, что периметр второго треугольника равен 65, то есть x + y + z = 65. Также известно, что стороны второго треугольника являются средними линиями исходного треугольника, то есть x = (b + c)/2, y = (a + c)/2 и z = (a + b)/2. Из этих уравнений можно выразить стороны a, b и c через x, y и z:

a = y + z - x b = z + x - y c = x + y - z

Подставляя это в выражение для периметра исходного треугольника, получаем:

a + b + c = 2(x + y + z) - (x + y + z) = x + y + z = 65

Ответ: периметр исходного треугольника равен 65.

Задача 2: Обозначим площадь исходного треугольника через S, а высоты из точки М на стороны треугольника через h1, h2 и h3 соответственно. Так как прямые, проведенные через точку М, параллельны сторонам треугольника, то соответствующие высоты равны между собой (по свойству параллельных прямых). Пусть эта высота равна h. Тогда площади трех малых треугольников равны:

S1 = (1/2)h1h = 3 S2 = (1/2)h2h = 12 S3 = (1/2)h3*h = 27

Так как высоты пропорциональны сторонам треугольника, то можно записать:

h1 : h2 : h3 = a : b : c

где a, b и c - стороны исходного треугольника. Тогда

S1 : S2 : S3 = (1/2)ah : (1/2)bh : (1/2)ch = ah : bh : ch

Отсюда следует, что

ah : bh : ch = 3 : 12 : 27 = 1 : 4 : 9

Сумма этих отношений равна 1 + 4 + 9 = 14, поэтому

a : b : c = 1/14 : 4/14 : 9/14 = 1 : 4 : 9/14

Тогда площадь исходного треугольника равна

S = (1/2)ah + (1/2)bh + (