Question

В прямоугольной трапеции меньшая боковая сторона равна 7,2 дм и составляет с меньшей диагональю угол в 45 градусов. Острый угол равен 45 градусов. Найдите площадь трапеции в кв.дм

Answer 1

Пусть ABCD- трапеция

CK высота на AD

AB=12

Угол CDK=45 градусов, тогда KD=CK=AB=12

Пусть BC=x,тогда AD=AK+KD=x+12

По условию задачи

   (x+(x+12))/2=20

    2x+12=40

    2x=28

    x=14

То есть

    BC=x=14

AD=AK+KD=14+12=26

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольной трапеции:

1. Большая диагональ трапеции равна сумме квадратов ее боковых сторон, то есть $AB^2 = AD^2 + BC^2$.
2. Площадь трапеции равна половине произведения суммы ее параллельных сторон на высоту, то есть $S = \frac{(AB+DC) \cdot h}{2}$.

Из условия задачи известно, что меньшая боковая сторона равна 7,2 дм и составляет с меньшей диагональю угол в 45 градусов. Тогда, обозначая меньшую диагональ как $AD$, получим:

$AD = 7,2\text{ дм}$

Также из условия известно, что острый угол трапеции равен 45 градусов. Значит, треугольник $ABC$ является прямоугольным, и большая диагональ $AB$ равна:

$AB = AC = BC \cdot \sqrt{2} = AD \cdot \sqrt{2} = 7,2\sqrt{2}\text{ дм}$

Теперь можно найти высоту трапеции. Для этого рассмотрим треугольник $ABD$. Угол между сторонами $AB$ и $AD$ равен 45 градусов, поэтому треугольник $ABD$ также является прямоугольным. Тогда его высота равна:

$h = BD = BC - CD = AB - 2 \cdot AD = 7,2\sqrt{2} - 2 \cdot 7,2 = 7,2(\sqrt{2}-2)\text{ дм}$

Теперь можем найти площадь трапеции:

$S = \frac{(AB+DC) \cdot h}{2} = \frac{(7,2\sqrt{2}+7,2) \cdot 7,2(\sqrt{2}-2)}{2} = \boxed{70,56}\text{ кв.дм}$