Question

ABCD-параллелограмм. Сторона AB разделена на 4равные части, а CD -на 5 равных частей. Найдите S ABCD/S MNFE. Помогите пожалуйста в скором времени очень нужно решение задачи!

Answer 1

Обозначим  АВ = CD = а, h - высота параллелограмма.
Sabcd = ah
MN║EF так как лежат на противоположных сторонах параллелограмма,
ME∦NF, ⇒ MNFE - трапеция, в которой
MN = 1/5 a, EF = 1/2 a, а высота так же h.
Smnfe = (MN + FE)/2 · h = (a/5 + a/2)/2 ·h = 7/10a / 2 · h = 7/20 ah
Sabcd : Smnfe = ah / (7/20 ah) = 20 : 7
Ответ: D.

Answer 2

Для решения задачи нам понадобится знать формулу площади параллелограмма:

S = a * h,

где a - длина одной из сторон параллелограмма, а h - высота, опущенная на эту сторону.

Обозначим точки деления сторон AB и CD на соответствующие части буквами M, N, F и E соответственно. Тогда из условия задачи мы знаем, что AM = MB = BC = CD/5, и поэтому AB = 4AM = 4MB = 4BC, а CD = 5EН = 5FЕ = 5BC.

Рассмотрим треугольник ABC и опустим на сторону BC высоту CH. Тогда HC = AB/4 = BC/5, и треугольники AHC и BHC подобны треугольнику ABC в соотношении 1:3 (по трем одинаковым углам). Значит, AH = HC/4 = AB/16, и BH = 3HC/4 = 3AB/64.

Теперь мы можем вычислить площадь ABCD. Высота параллелограмма равна HC, а длина его основания равна AB, поэтому:

S ABCD = AB * HC = AB * BC/5 = (4BC) * BC/5 = 4BC^2/5.

Аналогично, мы можем рассмотреть треугольник MNE и опустить на его сторону NE высоту EK. Тогда KN = NE/4 = CD/20, и треугольники MKN и NKN подобны треугольнику MNE в соотношении 1:4 (по четырем одинаковым углам). Значит, MN = KN/4 = CD/80.

Теперь мы можем вычислить площадь MNEF. Высота параллелограмма равна EK, а длина его основания равна MN, поэтому:

S MNFE = MN * EK = CD/80 * NE = (5CD/80) * CD/5 = CD^2/16.

Итак, отношение площадей S ABCD и S MNFE равно:

S ABCD/S MNFE = (4BC^2/5)/(CD^2/16) = 64BC^2/5CD^2.

Осталось только вычислить длины сторон параллелограмма BC и CD. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора и теоремой косинусов в треугольнике BCD:

BC^2 = CD^2 + BD^2 - 2CD * BD * cos(BCD) = CD^2 + AB^2/16 - 2CD * AB/5 * cos(BCD),

где cos(BCD)