Question

Знайдіть кількість сторін правильного многокутника, якщо довжина кола,вписаного в нього, і довжина його сторони відповідно дорівнюють: 10пи см і 10 √3 см

Answer 1

Сторона правильного многоугольника через радиус r вписанной окружности вычисляется по формуле аₙ=2r*tg(180°/n), а т.к. длина окружности, вписанной в данный многоугольник, равна  2πr=10π, то r=5/см/, имея теперь радиус окружности и сторону, найдем количество сторон по первой формуле.

10√3=2*5tg(180°/n), найдем tg(180°/n)=√3, но это значение соответствует 60°, значит, 180°/n=60°, откуда n=3. Значит, был дан правильный треугольник.

Ответ количество сторон равно 3.

Answer 2

Правильний многокутник з n сторонами можна розбити на n трикутників з основою, яка дорівнює довжині сторони многокутника і з вершинами, що співпадають з центром многокутника. Кожен з цих трикутників є рівнобедреним, тому що він має дві сторони однакової довжини, які дорівнюють радіусу кола, вписаного в многокутник. Також з цих трикутників можна виділити дві равлики (див. малюнок нижче), які мають форму рівнобедренного трикутника з кутом 120 градусів між основами.

Довжина кола, вписаного в многокутник, дорівнює периметру равлика, тому:

10π = 2s + 2r,

де s - довжина сторони многокутника, r - радіус кола, вписаного в многокутник.

Довжина сторони многокутника може бути знайдена з довжини його равлика, тому:

s = 2r√3

Підставляючи це значення s у першу формулу, отримуємо:

10π = 4r√3 + 2r

10π = 2r(2√3 + 1)

r = 5π / (2√3 + 1)

Знаючи радіус кола, можна знайти довжину сторони многокутника:

s = 2r√3 = 10π / (2√3 + 1) * √3 = 10(√3)π / (2√3 + 1)

Кількість сторін многокутника можна знайти за формулою:

n = 360° / α,

де α - центральний кут між двома сусідніми вершинами многокутника.

Для правильного многокутника α = 360° / n, тому:

n = 360° / arccos((s/2)/r)

Підставляючи знайдені значення r та s, отримуємо:

n = 6

Отже, кількість сторін правильного многокутника дорівнює 6.