Question

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найти синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BD.

Answer 1

Не знаю, сомневаюсь, правильно ли, а то не использовала то, что ребро равно 1

Answer 2

Для решения задачи нам понадобится использовать геометрические свойства пирамиды.

Обозначим через O точку пересечения диагоналей грани SAB и SCD. Тогда O является центром вписанной сферы пирамиды, а все ребра пирамиды являются радиусами этой сферы.

Рассмотрим треугольник ABO, где B и O – середины ребер SA и CD соответственно. Этот треугольник является прямоугольным, так как AB = BO = 1/2, а AO = OD = OC = 1 (так как O – центр вписанной сферы). Значит, угол AOB равен 90 градусов.

Так как точка A лежит на плоскости, проходящей через точку O и перпендикулярной прямой BD, то вектор AO будет перпендикулярен этой плоскости. Значит, нам нужно найти синус угла между вектором AO и плоскостью SAD.

Обозначим через h высоту пирамиды, опущенную на грань SAD. Тогда площадь треугольника SAD равна S = (1/2)*h. Заметим, что треугольник AOB подобен треугольнику SAD, так как у них соответственные углы равны, а соотношение сторон равно 1:2 (AO и OB являются медианами в этих треугольниках). Значит, высота пирамиды опущенная на грань AOB равна (1/2)*h.

Таким образом, синус угла между вектором AO и плоскостью SAD равен отношению высоты пирамиды, опущенной на грань SAD, к высоте пирамиды, опущенной на грань AOB:

sin(угла между SAD и плоскостью, проходящей через A и перпендикулярной BD) = h / ((1/2)*h) = 2.

Ответ: синус угла между плоскостью SAD и плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно прямой BD, равен 2.