Question

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите площадь параллелограмма, если его периметр равен 88

Answer 1

Биссектриса в параллелограмме образует равнобедренный треугольник, следовательно  большая сторона 4х +3х, а меньшая 4х.

(4х+7х)*2=88
11х=44
х=4
Стороны параллелограмма 16 и 28. 

Найти площадь невозможно, не хватает данных. 

Answer 2

Обозначим длины сторон параллелограмма через $a$ и $b$, а длину биссектрисы через $h$. Так как биссектриса тупого угла делит противоположную сторону в отношении 4:3, то можно записать соотношение:

$\frac{3}{4}b = a$

Также известно, что периметр параллелограмма равен $88$. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его сторон:

$2(a+b) = 88$

Отсюда находим $a$ и $b$:

$\begin{cases} a = \frac{3}{4}b \\ 2(a+b) = 88 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 27 \\ b = 36 \end{cases}$

Теперь можем найти площадь параллелограмма через длину биссектрисы:

$S = ah = 27h$

Осталось найти высоту $h$. Заметим, что треугольник, образованный биссектрисой тупого угла, высотой и половиной противоположной стороны, является прямоугольным. Поэтому можем воспользоваться теоремой Пифагора:

$h^2 = \left(\frac{3}{7}b\right)^2 + \left(\frac{4}{7}b\right)^2 = \frac{25}{49}b^2$

$h = \frac{5}{7}b = \frac{5}{7} \cdot 36 = 25.71$

И, наконец, находим площадь:

$S = ah = 27 \cdot 25.71 \approx 694.17$

Ответ: площадь параллелограмма равна примерно 694.17.