Question

докажите, что биссектрисы равнобедренного треугольника, приведенные из вершин углов при основании, равны

Answer 1

Биссектриса делит угол попалам

Answer 2

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC и боковыми сторонами AB и AC. Пусть BD и CE - биссектрисы углов ABC и ACB соответственно, где D и E - точки пересечения биссектрис с основанием BC.

Для доказательства равенства биссектрис BD и CE нужно доказать, что отрезок BD равен отрезку CE, то есть BD = CE.

Для начала рассмотрим треугольник ABD. Из определения биссектрисы следует, что угол ABD равен углу ABC/2.

Также, по условию треугольника ABC, угол A равен углу C. Следовательно, угол BAC равен углу BCA, и угол BAC/2 равен углу BCA/2.

Из этих двух равенств следует, что угол ABD равен углу ACE, то есть углы ABD и ACE смежные углы.

Аналогично, из рассмотрения треугольника ACD можно вывести, что углы ACD и ABE также являются смежными углами.

Таким образом, мы получили, что углы ABD и ACE, а также углы ACD и ABE являются смежными углами.

Рассмотрим теперь треугольник ABE. Из условия треугольника ABC следует, что угол A равен углу C. Также, угол ABE равен углу ACB/2, а угол BAE равен углу BCA/2.

Таким образом, углы ABE и BAC, а также углы BAE и BCA являются соответственными углами.

Из теоремы о соответственных углах следует, что треугольники ABE и ABC подобны.

Аналогично, из рассмотрения треугольника ACD можно вывести, что треугольники ACD и ABC подобны.

Из подобия треугольников ABC, ABE и ACD следует, что отношение длин сторон в каждом из этих треугольников равно.

В частности, отношение длин сторон AB и AC в треугольнике ABE равно отношению длин сторон AC и AB в треугольнике ACD.

Таким образом, мы получили, что BD/DC = BE/EC.

Выразим BD через DC и BE через EC:

BD/DC = BE/EC

BD/(BC - BD) = BE/(BC - BE