Question

Шар радиусом 7 см, пересечён плоскостью на расстоянии 3 см от центра, вычислите S сеч. плоскости.

Answer 1

Радиус сечения r²=7²-3²=49-9=40. Сечением является круг. Sсеч=πr²=40π

Answer 2

Сначала найдем расстояние от точки пересечения плоскости и центра шара до плоскости. Это будет катет прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является радиус шара:

$a=\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{7^2-3^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$

где $r$ - радиус шара, а $d$ - расстояние от плоскости до центра шара.

Теперь мы можем найти высоту сегмента плоскости, проходящего через шар:

$h=r-a=7-2\sqrt{10}$

Площадь сегмента плоскости можно найти, используя формулу:

$S=\frac{1}{2}l \cdot h$

где $l$ - длина дуги окружности, образующей сегмент плоскости.

Для того, чтобы найти $l$, мы должны сначала найти угол $\alpha$, под которым находится дуга окружности:

$\cos\alpha=\frac{d}{r}=\frac{3}{7} \Rightarrow \alpha=\arccos\frac{3}{7}$

Тогда длина дуги можно найти, используя формулу для длины дуги окружности:

$l=r\alpha=7\arccos\frac{3}{7}$

Теперь мы можем вычислить площадь сегмента:

$S=\frac{1}{2}l \cdot h=\frac{1}{2}(7\arccos\frac{3}{7})(7-2\sqrt{10})\approx 10.11,см^2$

Ответ: площадь сечения плоскости составляет примерно 10.11 квадратных сантиметров.