Question

В параллелограмме KLMN точка B середина стороны LM известно что BK=BN.докажите что данный параллелограмм-прямоугольник

Answer 1

Δ AMD= Δ BMC, по третьему признаку равенства треугольников(АМ=ВМ ,МС=МD по условию, ВС=АD, как противоположные стороны параллелограмма).С равенства Δ  следует равенство углов: Ŀ А= Ŀ В, как углы лежащие против равных сторон. Ŀ А+Ŀ В=180градусов, (как сумма углов прилежащих к одной стороне параллелограмма),откуда <А=<В=90градусов,а значит параллелограмм  АВСД прямоугольник ,что и требовалось доказать.

Answer 2

Рассмотрим параллелограмм KLMN. Так как BK=BN, то отрезок KN делится точкой B пополам (т.к. KN параллельно LM и BK=BN). Обозначим середину отрезка KN как точку P.

Так как KLMN - параллелограмм, то KL || MN и KM || LN. Из этого следует, что треугольники KPB и NPB равнобедренные (так как BP является медианой треугольников KLN и MLN соответственно).

Значит, KB=KP и NB=NP. Также, угол KPB равен углу NPB (они соответственно при вершинах K и N). Таким образом, треугольники KPB и NPB равны по двум сторонам и углу между ними, что означает, что они равны в целом.

Отсюда следует, что угол KNM равен углу KLM (так как KPB и NPB равнобедренные и расположены по разные стороны от KN), а угол KLM равен 90 градусов (так как противоположные углы параллелограмма равны). Значит, угол KNM также равен 90 градусов, и параллелограмм KLMN является прямоугольником.

Таким образом, мы доказали, что если точка B является серединой стороны LM параллелограмма KLMN, и BK=BN, то данный параллелограмм является прямоугольником.