Question

На отрезке АС как на основании построены по одну сторону от него два равнобедренных треугольников АВС и АМС. Докажите, что прямая ВМ пересекает сторону АС в ее середине. Найдите АМ , если известно, что периметр четырехугольника АВСМ равен 26 см, а сторона СМ на 3 м меньше стороны АВ помогите с дано и доказательством

Answer 1

ABC и AMC треугольники.
АВ=ВС, АМ=МС
Док-ть: ВМ делит АС пополам
Р ABCM=26см, AB-CM=3см
АМ-?
1. Рассмотрим треугольники ABM и CBM. АВ=ВС, АМ=СМ по условию и ВМ-общая, значит треугольники равны.
2. Пусть H- точка пересечения ВМ с АС. Рассмотрим треугольники ABH и CBH. Т.к. АВС равнобедренный, то углы CAB и ACB равны, углы АВМ и СВМ равны по п.1, а AB=BC по условию, значит ABH=CBH AH=HС. Ч.т.д.
3. Рассмотрим ABCM. AB=BC, AM=CM. AB-CM=AB-AM=3. AB=3+AM
P=2×(AB+AM)
26=2×(3+AM+AM)
23=3+2AM
20=2AM
AM=10
Ответ: АМ=10 см.

Answer 2

Дано:

• Отрезок AC является основанием для двух равнобедренных треугольников АВС и АМС.
• Периметр четырехугольника АВСМ равен 26 см.
• Сторона СМ на 3 см меньше стороны АВ.

Доказательство: Поскольку треугольники АВС и АМС являются равнобедренными, то основания этих треугольников (отрезок AC) разделят их высоту на две равные части. Пусть точка D является серединой стороны AC. Тогда BD = DC, и мы можем рассматривать треугольники АBD и СДМ.

Так как сторона СМ на 3 см меньше стороны АВ, то СД = BD - 3. Из условия равнобедренности треугольника АВС следует, что АВ = СВ. Периметр четырехугольника АВСМ равен:

AB + BC + CM + MA = 2AB + CM + MA = 26

Из этого выражения мы можем выразить MA:

MA = 13 - AB - CM/2

Заметим, что треугольники АВС и АМС подобны, так как имеют равные углы при вершине А. Следовательно,

AB/AM = BC/CM

AB = BC, так как треугольник АВС равнобедренный. Подставляя AB = BC и MA = 13 - AB - CM/2, получаем:

BC/AM = (BD - DC)/CM BC/AM = (AB/2 - DC)/CM BC/AM = (AB/2 - AC/2)/CM BC/AM = BD/CM - 1/2

Используя формулу синуса для треугольника СДМ, имеем:

sin(DСM) = CM/DM

sin(DСM) = CM/BC

CM/BC = sin(DСM)

Также заметим, что треугольники АВС и СДМ подобны, так как имеют равные углы при вершине С. Следовательно,

AB/BC = SD/DM

AB/BC = AC/CM

AB/AC = BC/CM

BC/CM = AB/AC

Подставляя BC/CM = AB/AC и CM/BC = sin(DСM), имеем:

AB/AC = sin(DСM) + 1/2

AB/AC - 1/2 = sin(DСM)

Теперь мы можем записать соотношение для BD/DM:

BD/DM = AB/AC - 1/2

BD/DM = sin(DСM)

Из этого следует, что угол BDM равен углу DСM.