Question

Ребята, задача по геометрии за 8-й класс. Один катет прямоугольного треугольника равен, например, 13 см. Как найти периметр. если все стороны целые числа. С нетерпением жду. пусть и Мозг попробует. Если что обращайтесь, я решу.

Answer 1

Треугольник прямоугольный. Пусть в нём будут катеты а, b, гипотенуза с. По условию а = 13.

Применим  теорему Пифагора:

с² = а² + b²

с² – b² = 13²

По формуле разности квадратов:

(с – b)(с + b) = 169

Тогда произведение двух чисел равно 169.

Рассмотрим, как при помощи произведения двух чисел получить 169.

Возможны два случая:

169 = 13 ∙ 13 или 169 = 1 ∙ 169

Тогда множители могут быть равны 13 и 13; 1 и 169; 169 и 1.

Получаются три случая, три системы уравнений с двумя неизвестными, рассмотрим эти системы:

1)

с – b = 13

с + b = 13

Решим методом сложения:

2с = 26

с = 13, тогда b = 0

Данный ответ не подходит, b – длина стороны треугольника, не может равняться 0.

2)

с – b = 1

с + b = 169

Решим методом сложения:

2с = 170

с = 85

Тогда из первого уравнения: с – b = 1 ⇒ b = с – 1 = 85 – 1 = 84

Ответ: стороны треугольника а = 13; b = 84; с = 85.

Для данных сторон выполняется неравенство треугольника, поэтому такой треугольник существует.

3)

с – b = 169

с + b = 1

Такое невозможно для треугольника, так как сумма длин двух сторон любого треугольника всегда будет больше разности длин двух сторон треугольника. А в данном случае получается наоборот - сумма длин меньше разности длин.

Сделаем вывод, что ответ только один: а = 13; b = 84; с = 85.

Найдём периметр: Р∆ = а + b + с = 13 + 84 + 85 = 182

Answer 2

Для решения задачи необходимо воспользоваться теоремой Пифагора, которая утверждает, что для прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

c^2 = a^2 + b^2

где c - гипотенуза, a и b - катеты.

В данном случае один катет равен 13 см. Пусть второй катет равен b см, а гипотенуза - c см.

Тогда из теоремы Пифагора получаем:

c^2 = 13^2 + b^2

c^2 = 169 + b^2

Также по определению периметра, периметр треугольника равен сумме длин его сторон.

Периметр треугольника равен:

P = 13 + b + c

Но мы знаем, что c^2 = 169 + b^2, поэтому можно заменить c^2 на 169 + b^2 в формуле для периметра:

P = 13 + b + √(169 + b^2)

Теперь наша задача - найти такое целое значение b, при котором P также будет целым числом.

Для этого можно перебирать значения b начиная с 1, и подставлять их в формулу для P, пока не найдем такое значение b, при котором P будет целым числом.

Например, при b = 84 получаем:

c^2 = 169 + b^2 = 169 + 84^2 = 7225

c = √7225 = 85

P = 13 + b + c = 13 + 84 + 85 = 182

Таким образом, периметр треугольника равен 182 см.