Question

Медиана AD треугольника ABC продолжена за точку D на отрезок DE, равный AD, и точка E соединена с точкой C. Докажите, что треугольник ABD равен треугольнику ECD

Answer 1

У треугольников абд и сде равны стороны сд и бд, так как д середина сб по условию, ад и ед по построению, углы сде и вде как вертикальные. То есть, абд и сде равны по 3 сторонам и углу между ними.

Answer 2

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть F - точка пересечения медиан AD и BE. По определению медианы, AF = FD, и также AF = FB, так как F лежит на медиане. Значит, FB = FD, и треугольник BFD равнобедренный. Также, из равенства треугольников ADF и CEF следует, что AD = CE.

Теперь мы можем сформулировать утверждение: треугольник ABD равен треугольнику ECD, если и только если они имеют равные основания (BD и CD) и равные высоты (высоту на AD и высоту на CE).

Очевидно, что BD = CD, так как D - середина AC и AD = CE по построению. Осталось доказать, что высоты из A и E равны.

Высота из A проходит через F (точку пересечения медиан), поэтому достаточно доказать, что высота из E также проходит через F. Рассмотрим треугольник CEF. По условию, CE = AD, поэтому треугольники CEF и ADF подобны, и угол FCE равен углу FAD. Также, угол FEC равен углу FAB (как вертикальные углы), а угол FAB равен углу FCD (так как AD параллельно CD).

Итак, мы получили, что у треугольников CEF и DCF есть две пары равных углов, и следовательно, они подобны. Значит, высота из E проходит через точку F, и треугольники ABD и ECD равны.