Question

Дано трикутник ABC,висоти цього трикутника,проведені до сторін АС і АВ,дорівнюють 3 см і 2 см відповідно.Знайдіть відношення АС до АВ.

Answer 1

Площа трикутника рівна половині добутку сторони трикутника на висоту, опущену до цієї сторони.

$\tt S=\dfrac{AB\cdot CE}{2}$ з іншого боку $\tt S=\dfrac{AC\cdot BD}{2}$. Прирівнюємо площі, маємо

$\tt \dfrac{AB\cdot CE}{2}=\dfrac{AC\cdot BD}{2}~~~\Rightarrow~~\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{CE}{BD}=\dfrac{2}{3}$

Відповідь: 2/3.

Answer 2

Решение задания приложено

Answer 3

Застосуємо теорему Піфагора до прямокутних трикутників ABC, ABD та ACD, де D - точка перетину висот з вершиною А:

AC² = AD² + DC² AB² = AD² + BD²

Оскільки AD - спільна сторона обох трикутників, то віднімаючи друге рівняння від першого, отримаємо:

AC² - AB² = DC² - BD²

Застосуємо формулу різниці квадратів для лівої та правої частини рівняння:

(AC + AB) (AC - AB) = (DC + BD) (DC - BD)

Оскільки AC + AB = BC, а DC + BD = 3 см + 2 см = 5 см, то маємо:

BC (AC - AB) = 5 (DC - BD)

Позначимо AC/AB = x, тоді DC/BD = 2/x, оскільки вони є висотами від однієї вершини. Підставимо ці вирази у попереднє рівняння:

BC/5 = (AC - AB)/(3 - 2x)

Отримали вираз для x, розв'язуємо його:

BC/5 = (AC - AB)/(3 - 2x)

BC(3 - 2x) = 5(AC - AB)

3BC - 2xBCx = 5AC - 5AB

5AC - 3BC = 5AB - 2xBCx

x = (5AC - 3BC)/(5AB - 2xBC)

Підставляємо дані: AC = 3 см, AB = 2 см, BC не відомо, тому позначимо його як b. Отримаємо:

x = (53 - 3b)/(52 - 2b)

x = (15 - 3b)/(10 - 2b)

Отримали вираз для відношення AC/AB залежно від b. Тому для знаходження цього відношення потрібно знайти значення b. Але ми не можемо знайти його без додаткової інформації.

Отже, відношення AC до AB не можна знайти тільки з даних задачі.