Question

Перпендикуляр, проведений із точки перетину діагоналей ромба до його сторони, ділить її на відрізки завдовжки 4 см і 25 см. Знайдіть діагоналі ромба.

Answer 1

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть половина одной диагонали равна Х, а половина второй равна Y. По свойству высоты из прямого угла она делит гипотенузу (сторону ромба, равную 25+4=29см) в таком отношении, что Х=√(29*25)=5√29см, а Y=√(29*4)=2√29. Тогда диагонали ромба равны 10√29см и 4√29см.

Проверка: высота ромба (по свойству высоты из прямого угла) h=2*√25*4=10см. S= a*h = 29*20=580 см². S=(1/2)*D*d= (1/2)*10√29*4√29)=580 см².

Answer 2

Позначимо точку перетину діагоналей ромба як точку $O$, а сторону ромба, яку перетинає перпендикуляр, як $AB$, де $A$ та $B$ - точки перетину сторін ромба.

Оскільки перпендикуляр проведений з точки $O$ до сторони $AB$, то він ділить сторону $AB$ на дві рівні частини. Нехай $M$ - середина сторони $AB$.

Позначимо відрізки, на які поділена сторона $AB$, як $AP = PB = 25$ см та $AM = MB = 2$ см.

Розглянемо трикутник $AOM$. Оскільки $AM = 2$ см та $OM$ є перпендикуляром, проведеним з точки $O$ до сторони $AB$, то за теоремою Піфагора маємо:

$$OA^2 = OM^2 + AM^2 = OM^2 + 4.$$

Аналогічно, розглядаючи трикутник $BOC$, де $OC$ є іншою стороною ромба, маємо:

$$OC^2 = OM^2 + BM^2 = OM^2 + 625.$$

Оскільки $OA = OC$ (оскільки $O$ є точкою перетину діагоналей ромба), то з використанням попередніх рівнянь отримуємо:

$$OM^2 + 4 = OM^2 + 625,$$

звідки $OM = \sqrt{621}$ см.

Отже, ми знайшли відрізок $OM$, який є половиною діагоналі ромба. Таким чином, довжина діагоналі ромба дорівнює $2OM = 2\sqrt{621}$ см, або близько 49,8 см (заокруглено до десятих).