Question

В треугольнике ABC проведена медиана АМ, причем угол MAC =45°. Найдите площадь треугольника АВС, если АС =6 корень из 2, ВС = 20 Помогите пожалуйста

Answer 1

Найти сторону АМ в треугольнике АМС по теоремет косинусов. АМ=7, Найти площадь треугольника АМС по формуле "половина произведения сторон на синус угла между ними": S=10,5 . Площадь треугольника АВС в два раза больше площади треугольника АМС (т. к. его площадь равнв половине произведения стороны ВС на высоту, проведенную к этой стороне, а площадь треугольника АМС равна произведению МС и той же самой высоты) , значит искомая площадь равна 21

Answer 2

Для решения задачи нам потребуется использовать свойства медиан треугольника.

Заметим, что угол MAC = 45° является углом между медианой AM и стороной AC, поэтому треугольник AMC является прямоугольным. Также из свойств медиан следует, что длина AM равна половине длины стороны BC, то есть AM = BC/2.

Используя теорему Пифагора в треугольнике AMC, получаем:

AC^2 = AM^2 + MC^2 (6√2)^2 = AM^2 + MC^2 72 = AM^2 + MC^2

Также заметим, что треугольник BMC является прямоугольным, поэтому можно применить теорему Пифагора и получить:

BC^2 = BM^2 + MC^2 BC^2 = (2AM)^2 + MC^2 400 = 4AM^2 + MC^2

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными (AM и MC):

72 = AM^2 + MC^2 400 = 4AM^2 + MC^2

Вычтем первое уравнение из второго:

328 = 3AM^2

AM^2 = 328/3

Таким образом, мы нашли длину медианы AM:

AM = √(328/3)

Теперь мы можем найти длину стороны BC:

BC = 2AM = 2√(328/3)

Теперь можем применить формулу для площади треугольника через стороны:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))

где p = (a + b + c)/2 - полупериметр треугольника.

Подставляем известные значения:

a = 6√2, b = 20, c = 2√(328/3)

p = (a + b + c)/2 = (6√2 + 20 + 2√(328/3))/2

Вычисляем значение p и подставляем в формулу для S:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)) = √[(p-a)(p-b)(p-c)p]

Получаем ответ.