Question

Диагонали параллелограмма АВСD пересекаются в точке О, а точка М делит сторону в отношении АМ : МD = 1:2. Выразите вектор ОМ через векторы а = АВ и b = AD

Answer 1

....................

Answer 2

Для начала, заметим, что в параллелограмме $ABCD$ вершины $A$ и $C$ лежат на одной прямой, а значит, вектор $\overrightarrow{AC}$ можно выразить через векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ следующим образом:

$$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}.$$

Так как диагонали $AC$ и $BD$ параллельны, то вектор $\overrightarrow{BD}$ можно выразить через $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ аналогичным образом:

$$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD}.$$

Так как точка $M$ делит сторону $AB$ в отношении $AM:MD = 1:2$, то можно выразить вектор $\overrightarrow{AM}$ через $\overrightarrow{AB}$ следующим образом:

$$\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$$

Тогда вектор $\overrightarrow{OM}$ можно выразить через векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$ следующим образом: \begin{align*} \overrightarrow{OM} &= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MD} \ &= \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OD}) + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} \ &= \frac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}. \end{align*} Таким образом, мы получили выражение для вектора $\overrightarrow{OM}$ через векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$:

$$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AD}.$$