Question

на сторонах бс и ад параллелограмма абсд отмечены точки к и л так что бк =дл. Докажите что площади четырехуголэьников абкд и сдлб равны

Answer 1

Так, как ВК и ЛД раны, то точки К и Л - середины сторон ВС и АД, а две противоположные стороны равны друг другу, за особенностю паралеллограмма. Отсюда КД = ВЛ. Отсюда у четериугольников АБКД и СДЛБ - все стороны одинаковы, отсюда эти четыриугольники равны.

Так, как они равны, то и площади их равны.

Answer 2

Рассмотрим параллелограмм АБСД:

• Пусть ВК = DL = а (т.е. БК = ДЛ = а, так как параллелограмм).

• Также пусть СК = х, тогда AS = CK = х (так как параллелограмм).

• Тогда AD = AB + BD = CK + BD = х + а.

Рассмотрим теперь четырехугольник АКД:

• Так как АК и ДК являются высотами параллелограмма АБСД, то АК = BS = х, а ДК = CD - CK = AD - AK - CK = (х + а) - х - х = а.

Таким образом, мы нашли, что АК = BS = х, а ДК = а.

Площадь четырехугольника АБКД равна:

S(ABCD) = S(ABD) + S(BDC) = BD * h(ABD) + BC * h(BDC) = BD * AD + BC * DK = а * (х + а) + а * х = 2ах + а^2.

Аналогично, площадь четырехугольника СДЛБ равна:

S(CDSB) = S(CDS) + S(CSB) = CD * h(CDS) + CS * h(CSB) = CD * AD / 2 + CS * BK / 2 = (х + а) * а / 2 + х * а / 2 = ах + а^2 / 2.

Таким образом, S(ABCD) = 2ах + а^2 и S(CDSB) = ах + а^2 / 2.

Чтобы доказать, что S(ABCD) = S(CDSB), достаточно показать, что 2ах + а^2 = ах + а^2 / 2:

2ах + а^2 = ах + а^2 / 2

2ах + 2а^2 / 2 = ах + а^2 / 2

2ах + а^2 = ах + а^2 / 2

а^2 / 2 = ах

х = а / 2

Таким образом, мы доказали, что S(ABCD) = S(CDSB), и это завершает наше доказательство.