Question

две окружности с центрами о1 и о2 касаются в точке K. Радиус меньшей окружности равен 3 см, ab = 16 см. Найдите радиус большой окружности.

Answer 1

AB=AK+KB=2R+2r

R=(AB-2r)/2

R=(16-2*3)/2

R=10/2

R=5 см

Answer 2

Чтобы найти радиус большей окружности, нам нужно знать расстояние между центрами двух окружностей. Мы знаем, что точка касания окружностей K находится на линии, проходящей через центры окружностей, так что расстояние между центрами можно найти, используя теорему Пифагора.

Пусть радиус большей окружности равен r, а расстояние между центрами окружностей равно d. Тогда по теореме Пифагора:

d^2 = (r + 3)^2 - r^2

d^2 = r^2 + 6r + 9 - r^2

d^2 = 6r + 9

Теперь мы можем использовать теорему касательной, чтобы найти длину отрезка TK, где T - точка касания между большей окружностью и хордой AB. Это длина отрезка, проходящего от центра меньшей окружности до точки касания K и перпендикулярного к линии AB. Поскольку эта линия касается меньшей окружности в точке K, она также является радиусом меньшей окружности.

Таким образом, мы знаем, что TK = 3 см.

Заметим, что AT и TB - это половины хорды AB, поэтому AT = TB = 8 см.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника TAK, чтобы найти длину отрезка AK:

AK^2 = AT^2 + TK^2

AK^2 = 8^2 + 3^2

AK^2 = 73

AK = sqrt(73)

Наконец, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника OAK, чтобы найти расстояние между центром большей окружности и точкой касания K:

d^2 = AK^2 + OA^2

d^2 = 73 + r^2

Теперь мы можем объединить два уравнения для d^2 и решить их относительно r:

d^2 = 6r + 9

d^2 = 73 + r^2

73 + r^2 = 6r + 9

r^2 - 6r + 64 = 0

(r - 4)^2 = 0

r = 4

Таким образом, радиус большей окружности равен 4 см.