Question

В правильной треугольной пирамиде SABC все ребра равны 6. Найти расстояние от точки C до плоскости ASM, где M - середина BC.

Answer 1

.................................................

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно найти уравнение плоскости ASM и затем найти расстояние от точки C до этой плоскости.

Сначала найдем координаты точек S, A, B, C, M.

Поскольку треугольник SABC правильный, мы можем выбрать систему координат так, чтобы вершины S, A, B лежали на оси Z, а вершина C лежала на плоскости XY.

Пусть сторона треугольника равна 6, тогда мы можем найти координаты вершин:

S(0, 0, 3√2) A(0, 0, 0) B(3, 0, 0) C(1.5, 2.598, 0) M(2.25, 0, 0)

Затем мы можем найти векторы AB и AM:

AB = B - A = (3, 0, 0) AM = M - A = (2.25, 0, 0)

Теперь мы можем найти векторное произведение AB и AM, чтобы найти нормальный вектор плоскости ASM:

n = AB x AM = (0, -6.75, 0)

Нормальный вектор имеет длину 6.75, поэтому нормируем его, чтобы получить единичный нормальный вектор:

n̂ = n/||n|| = (0, -√2/2, 0)

Теперь мы можем записать уравнение плоскости ASM:

0(x-2.25) - √2/2(y-0) + 0(z-0) = 0

или просто

√2y = 4.5

Теперь нам нужно найти расстояние от точки C до плоскости ASM. Мы можем использовать формулу:

d = |ax + by + cz + d|/√(a^2 + b^2 + c^2)

где (a, b, c) - единичный нормальный вектор плоскости ASM, а (x, y, z) - координаты точки C, а d - коэффициент сдвига уравнения плоскости ASM (он равен 0 в данном случае).

Подставляя значения, получим:

d = |0(1.5) - √2/2(2.598) + 0(0) + 0|/√(0^2 + (-√2/2)^2 + 0^2) = √2

Ответ: расстояние от точки C до плоскости ASM равно √2.