Question

Медиана ВМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе АD. Найдите сторону АС, если АВ=7см.

Answer 1

АВ=АС  АС=7см АD-биссектрисса 

Answer 2

Обозначим медиану треугольника АВС через М, точку пересечения биссектрисы АD с МС - через N, а точку пересечения биссектрисы АD с АВ - через К. Тогда, так как М - медиана, то МК = МА = МВ / 2 = 7 / 2 = 3,5 см.

Также, так как точка N лежит на биссектрисе АD, то отношение АN / ND равно отношению длины сторон треугольника АВ и АС, то есть АН / ND = АВ / АС.

С другой стороны, по теореме о трёх перпендикулярах, треугольник АНМ подобен треугольнику АВК, поэтому АН / МК = АВ / КМ. Заменив МК на 3,5 см и АВ на 7 см, получим:

АН / 3,5 = 7 / (АС + 7/2)

АН = (3,5 * 7) / (АС + 7/2)

Также, по теореме о трёх перпендикулярах, треугольник АНС подобен треугольнику АВМ, поэтому АС / МС = АВ / КМ. Заменив МС на МА = 3,5 см и АВ на 7 см, получим:

АС / 3,5 = 7 / 3,5

АС = 7 * 2 = 14 см.

Итак, мы получили, что АН = (3,5 * 7) / (АС + 7/2) и АС = 14 см. Подставляя значение АС в первое уравнение, получим:

(3,5 * 7) / (АН + 7/2) = 7 / 14

АН + 7/2 = 14

АН = 14 - 7/2

АН = 21/2

Таким образом, АН = 10,5 см. Отсюда, подставляя значение АН в уравнение АН / ND = АВ / АС, получим:

10,5 / ND = 7 / 14

ND = (10,5 * 14) / 7

ND = 21 см.

Итак, мы получили, что сторона АС треугольника АВС равна 14 см, что и требовалось найти.