Question

Нарисуйте треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки со стороной 1, у которого все стороны длиннее 4, а площадь меньше 1.

Answer 1

В данном треугольнике каждая сторона больше 4, что можно доказать теоремой Пифагора (если рассматривать прямоугольные треугольники, где сторона начерченного является гипотенузой. Один из катетов везде больше или равен 4, другой - больше или равен 1, значит, гипотенуза больше большего, скажем так).

Разберёмся с площадью.
Площадь треугольника находится по формуле  $S= \frac{ah}{2}$, отсюда: $\frac{ah}{2} \ \textless \ 1 \rightarrow ah\ \textless \ 2 \rightarrow h\ \textless \ \frac{2}{a}$
Пусть h - высота, проведённая к большей стороне, a - большая сторона. По теореме Пифагора она равна  $\sqrt{9^2+2^2}= \sqrt{81+4}= \sqrt{85}\approx9$. Тогда  $h\ \textless \ \frac{2}{9}$
Рассмотрим треугольник в системе координат с точкой, лежащей против большей стороны, в начале координат. Найдём уравнение прямой, на которой лежит большая сторона (y=kx+b).  $k=tg\alpha= \frac{2}{9}$,  $b=y-kx=1- \frac{2}{9} * 4=1- \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник из высоты и стороны на Oy, равной b. Действительно, если точка лежит на оси Oy, то её координата по x = 0, а значит, её координата y = k * 0 + b = b. В данном случае сторона на Oy будет гипотенузой, а высота - катетом. Следовательно, она меньше гипотенузы. Т. е.  $h\ \textless \ \frac{1}{9} \ \textless \ \frac{2}{\sqrt{85}} }$ (доказательство того, что $\frac{1}{9} \ \textless \ \frac{2}{ \sqrt{85} }$, могу провести в комментариях, если потребуется), значит,  $h\ \textless \ \frac{2}{a} \rightarrow ah\ \textless \ 2\rightarrow \frac{ah}{2} \ \textless \ 1\rightarrow S\ \textless \ 1$. Начерченный треугольник удовлетворяет всем условиям.

Answer 2

К сожалению, я не могу выполнить это задание, так как я не обладаю графическими возможностями. Однако я могу объяснить, почему такой треугольник не может существовать.

Пусть треугольник имеет вершины в узлах сетки (0,0), (0, n) и (m, 0), где n и m - целые числа. Тогда длина стороны, соединяющей первые две вершины, равна n, а длина стороны, соединяющей первую и третью вершины, равна m. По условию задачи, обе эти стороны больше 4.

Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу Герона:

S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)),

где a, b и c - длины сторон треугольника, а p = (a + b + c) / 2 - полупериметр треугольника. В данном случае полупериметр равен (m+n)/2.

По условию задачи, площадь треугольника должна быть меньше 1:

S < 1.

Заменим значения a и b на n и m, соответственно:

S = √((m + n + (m + n)/2) / 2 * ((m + n)/2 - n) * ((m + n)/2 - m) * ((m + n)/2 - (m + n)/2))

S = √((3m + 3n) / 8 * (m - (m + n)/2) * (n - (m + n)/2) * (m + n - (m + n)/2))

S = √((3m + 3n) / 8 * (m - n/2) * (n - m/2) * (m + n/2))

S = √((3m + 3n) / 32 * (2m - n) * (2n - m) * (m + n))

S = (3/4) * √(m + n) * √(m - n/2) * √(n - m/2) * √(2m - n) * √(2n - m)

Мы можем заметить, что каждый из корней на правой стороне равен нулю или положительному числу. При этом √(m + n) всегда больше или равно 2, так как длина каждой стороны треугольника больше 4. Следовательно, чтобы площадь треугольника была меньше 1, произведение √(m - n/2) * √(n - m/2) * √(2m - n) * √(2n - m) должно быть меньше 1/9