Question

в конусе проведено два сечения плоскостями, параллельными плоскости основания конуса. Точками пересечения данных плоскостей с высотой конуса, она делится на 3 равных отрезка. Найдите объем средней части конуса, если объем нижней части равен 38.

Answer 1

В решении ^2-означает в квадрате
R1 - радиус верхнего сечения
R2 - радиус нижнего сечения
Формула Vусеченого конуса=1/3*Пи*H*(R1^2+R1*R2+R2^2)
Радиус верхней части R
Средней 2R, нижней 3R
Vнижн=1/3*Пи*H*(9R^2+3R*2R+4R^2)=1/3*Пи*H(9R^2+6R^2+4R^2)=1/3*Пи*H*19*R^2
1/3*Пи*H*R^2=38/19=2
Vнижн=1/3*Пи*H*(4R^2+2R*R+R^2)=1/3*Пи*H*7*R^2=2*7=14

Answer 2

Обозначим высоту конуса через $h$, радиус основания через $r$, а радиусы сечений через $r_1$ и $r_2$, где $r_1 < r_2$. По условию, высота конуса делится на 3 равных отрезка, значит, расстояние между сечениями равно $\frac{h}{3}$.

Из подобия треугольников можно найти соотношение между радиусами сечений и радиусом основания: $\frac{r_1}{r} = \frac{r_2}{r+\frac{h}{3}}$

Также известно, что объем нижней части конуса равен 38, то есть: $\frac{1}{3}\pi r^2 h - \frac{1}{3}\pi r_1^2 \frac{h}{3} = 38$

Выразим $h$ из первого уравнения и подставим во второе: $h = \frac{r_2}{r_2-r_1} \cdot \frac{h}{3}$ $\frac{1}{3}\pi r^2 \frac{r_2}{r_2-r_1} \cdot \frac{h}{3} - \frac{1}{3}\pi r_1^2 \frac{r_2}{r_2-r_1} \cdot \frac{h}{9} = 38$

Упрощаем выражение: $\frac{1}{27}\pi h(r^2-r_1^2) = 38$ $h = \frac{38 \cdot 27}{\pi (r^2-r_1^2)}$

Теперь можем найти объем средней части конуса: $V_{mid} = \frac{1}{3}\pi r_1^2 \cdot \frac{h}{3} = \frac{38 \cdot 27}{\pi (r^2-r_1^2)} \cdot \frac{1}{3}\pi r_1^2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{38}{3}$

Ответ: объем средней части конуса равен $\frac{38}{3}$.