Question

В треугольниках ABC и A1B1C1 отрезки AD и A1D1-биссектрисы,AB=A1B1,BD=B1D1 и AD=A1D1.Доказать,что треугольник ABC=треугольникуA1B1C1.

Answer 1

тр.ADB=тр.A1D1B1 (так как их стороны равны)

углы DAB и D1A1B1 равны

углы B и B1 равны

углы A и A1 равны (так как угол DAB равен углу D1A1B1, а угол CAD равен углу C1A1D1)

треугольники ABC и A1B1C1 равны (по двум углам и стороне между ними)

Answer 2

По свойству биссектриссы:

AB/BD=AC/DC

A1B1/B1D1=A1C1/D1C1

Так биссектриссы равны и соотношения неизвестных сторон сохраняются то треугольники равны по 3 признаку. 

Answer 3

Для доказательства равенства треугольников ABC и A1B1C1 нужно показать, что все их стороны и углы соответственно равны.

Рассмотрим отрезок AD, который является биссектрисой угла ABC. Поскольку BD=B1D1, то углы ABD и A1B1D1 равны по двум сторонам и общему углу. Также, AD и A1D1 равны, потому что они являются биссектрисами соответствующих углов. Таким образом, треугольники ABD и A1B1D1 подобны.

Аналогично можно доказать, что треугольники ACD и A1C1D1 подобны.

Таким образом, мы получаем следующие соотношения между сторонами треугольников:

AB/A1B1 = AD/A1D1 AC/A1C1 = AD/A1D1

Поскольку AB=A1B1 и AC=A1C1, то можно записать:

AD/A1D1 = AB/A1B1 = AC/A1C1

Таким образом, у треугольников ABC и A1B1C1 соответственно равны две стороны и угол между ними, что гарантирует равенство этих треугольников по теореме SSA (сторона-сторона-угол).