Question

точка b-середина отрезка aс. точки d и е находятся по одну сторону от прямой ас, причем угол adb=ebc и dab=bce. Докажите что угол BDE = ADB

Answer 1

Решение во вложенном файле.

Answer 2

Для начала, нарисуем схему с описанными точками и углами:

mathematicaCopy code
     D       E
      \     /
       \   /
        \ /
         B
         |
         |
         |
         A
         |
         |
         |
         C

Заметим, что углы $ADB$ и $BDE$ оба лежат на одной дуге отрезка $AB$ окружности, поскольку они смотрят внутрь треугольника $ABD$ и наружу треугольника $BDE$, соответственно. Нам нужно доказать, что эти углы равны, то есть что $ADB = BDE$.

Поскольку точка $B$ является серединой отрезка $AC$, то отрезки $AB$ и $BC$ равны между собой. Кроме того, у нас есть равенство углов $ADB = EBC$ и $DAB = BCE$. Это позволяет нам использовать две пары треугольников, чтобы сравнить отрезки и углы в этих треугольниках.

Рассмотрим треугольники $ABD$ и $BCE$. У них есть общий угол $B$, и у них равны два угла при вершине: $ADB = EBC$ и $DAB = BCE$. Поэтому эти треугольники подобны друг другу по признаку углов-углов-углов.

Значит, соответствующие стороны в этих треугольниках пропорциональны. В частности, отношение длин отрезков $BD$ и $DE$ равно отношению длин отрезков $AB$ и $BC$:

$\frac{BD}{DE} = \frac{AB}{BC}.$

Но мы знаем, что $AB = BC$, так как точка $B$ является серединой отрезка $AC$. Поэтому мы можем упростить эту формулу:

$\frac{BD}{DE} = \frac{AB}{BC} = 1.$

Таким образом, $BD = DE$, и отрезок $BE$ является биссектрисой угла $B$ в треугольнике $BDE$. Это означает, что угол $BDE$ равен половине угла $ABD$.

Из подобия треугольников $ABD$ и $BCE$ мы знаем, что $ADB = EBC$. Но угол $EBC$ равен углу $ABD$ (по условию задачи), поэтому $ADB = BDE$.

Таким образом, мы доказали, что угол $BDE$ равен углу $ADB$.