Question

В равнобедренном треугольнике ABC, стороны которого AC=4 и AB=BC=6, проведены биссектрисы AN и CM углов при основании. Определите длину MN.

Answer 1

Так как биссектриса делит сторону напополам, то MN является средней линией, а по теореме о средней линии основание больше в два раза, то есть МN= 2

Answer 2

Найдем сначала высоту треугольника ABC из вершины B, проведя ее к основанию AC. Обозначим ее точкой H.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то биссектриса угла B равна медиане, проведенной из вершины B к противоположной стороне AC. Значит, точка H является серединой стороны AC.

Также заметим, что треугольник BAN подобен треугольнику BCM, так как они имеют общий угол при вершине B и равные углы при основании (из-за того, что AN и CM являются биссектрисами). Значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны: BA/BC = AN/CM. Подставляя известные значения, получаем:

6/6 = AN/CM,

то есть AN = CM. Значит, точки N и M равноудалены от вершины B.

Таким образом, мы получили, что точка H является серединой стороны AC, а точки N и M равноудалены от вершины B. Значит, треугольник NHM является равнобедренным, и его высота проведена из вершины H к стороне NM.

Осталось найти длину стороны NM. Заметим, что треугольник ABC подобен треугольнику HNM, так как они имеют общий угол при вершине H и равные углы при основании (из-за того, что AN и CM являются биссектрисами). Значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны: AB/AC = HN/HM. Подставляя известные значения, получаем:

6/4 = HN/HM,

откуда HM = (4/6)HN = (2/3)HN.

Но так как треугольник NHM равнобедренный, то HN = HM, и следовательно, HM = (2/3)HN = (2/3)HM.

Таким образом, мы получили систему уравнений:

HM = (2/3)HM + x,

HN = HM,

где x - искомая длина стороны NM.

Решая ее, получаем:

x = (1/3)HM = (1/3)(BC/2) = 1.

Ответ: длина стороны MN равна 1.