Question

В окружности с центром О проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что угол BAC= углу BAD. Докажите, что AC=AD

Answer 1

В окружности с центром О проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что ∠BAC = ∠BAD. Докажите, что AC = AD.

===========================================================

Теорема:  Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.

∠ADB = ∠ACB = 90°

Δ ABD = Δ ABC по гипотенузе и острому углу

• ∠BAD = ∠BAC - по условию
• AB - общая сторона, гипотенуза

В равных треугольниках соответственно равные элементы: стороны и углы  ⇒  AC =  AD, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать свойства углов, образованных хордами и диаметром окружности.

Из условия задачи следует, что угол BAC равен углу BAD, то есть они равны между собой. Рассмотрим треугольники AOC и AOD, в которых соответственно углы ACO и ADO равны углам BAC и BAD.

Так как диаметр AB является осью симметрии окружности, то угол AOC равен углу AOD (они являются соответственными углами). Таким образом, треугольники AOC и AOD являются равнобедренными, так как у них равны два угла и одна сторона (AC = AD является общей стороной).

Таким образом, мы доказали, что AC = AD, что и требовалось доказать.