Question

Средняя линия треугольника отсекает от него трапецию с боковыми сторонами 5м и 4м и меньшим основанием 8м. Найдите периметр треугольника. Помогите, пожалуйста Завтра контрошка

Answer 1

Основание = 8*2 = 16м.

Стороны = 5+4 = 9м. (Если стороны одинаковые, перемножить их на 2 и потом сложить)

P = 16+9 = 25м.

Answer 2

Пусть треугольник $ABC$ имеет медиану $AM$, которая делит его на две равные площади, и пересекает сторону $BC$ в точке $M$ (см. рисунок ниже).

Так как медиана делит треугольник на две равные площади, то площадь трапеции $ABED$ равна половине площади треугольника $ABC$:

$$\frac{1}{2}S_{ABC}=S_{ABED}.$$

Заметим, что $ED=BC-2AM$, поэтому

$$S_{ABED}=\frac{1}{2}(AB+ED)\cdot h=\frac{1}{2}(AB+BC-2AM)\cdot h,$$

где $h$ — высота трапеции.

Так как $AB=AC$ и $AM$ является медианой, то $BM=MC=\frac{1}{2}BC=4.5$ метра. Из прямоугольного треугольника $BAM$ можно найти $AM$:

$$AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\sqrt{AC^2-BM^2}=\sqrt{25-4.5^2}=4\sqrt{3}.$$

Также из трапеции $ABED$ можно найти ее высоту:

$$h=\sqrt{AD^2-AE^2}=\sqrt{AM^2-ME^2}=\sqrt{AM^2-\left(\frac{ED}{2}\right)^2}=\sqrt{4^3-2^2}=2\sqrt{13}.$$

Теперь можно выразить периметр треугольника $ABC$ через стороны $AB$ и $AC$:

$$P_{ABC}=AB+AC+BC=2AB+BC=2\cdot\frac{2S_{ABED}}{h}+BC=2\cdot\frac{(AB+BC-2AM)\cdot h}{2h}+BC=2(19-8\sqrt{3})+9=37-16\sqrt{3}.$$

Ответ: $P_{ABC}=37-16\sqrt{3}$ метров.