Question

Отметили все 333 вершины правильного 333-угольника. Сколько существует равнобедренных треугольников с вершинами в отмеченных точках?

Answer 1

Давай рассуждать. Например, нарисовали правильный 333-угольник (т.е. все стороны его равны между собой)
Теперь возьмем для начала точку (любую) - она будет вершиной искомого 3-уг.
Осталось 332 точки. Т.е. 166 (это 332/2) по часовой стрелке и 166 против от нашей точки. Т.е. с вершиной из этой точки можно начертить 166 равнобедренных треуг. (что они равнобедр - это отдельное ( простое доказательство, но нам, вероятно, в данном случае это не нужно). А сколько первоначальных точек всего? 333.
Т.е. искомых треугольников будет 333*166

Answer 2

Для того чтобы определить количество равнобедренных треугольников, необходимо выяснить, сколько троек вершин образуют равнобедренный треугольник.

Для равнобедренного треугольника, у которого две стороны равны, необходимо выбрать две вершины, расположенные на одинаковом расстоянии от третьей вершины. Так как правильный 333-угольник имеет 333 вершины, то число равнобедренных треугольников можно определить следующим образом:

• Выбрать 333 способа выбрать первую вершину.
• Для каждой первой вершины есть 2 возможных вершины, расположенные на одинаковом расстоянии от нее, поэтому для выбора второй вершины есть 2 варианта.
• Для каждой пары вершин имеется ровно одна третья вершина, образующая равнобедренный треугольник с выбранными двумя вершинами.
• Итого, количество равнобедренных треугольников равно: $333 \cdot 2 \cdot 1 = \boxed{666}$.