Question

Одна зi сторiн трикутника дорiвнює 14 см, рiзниця двох iнших сторiн — 4 см, а кут мiж ними дорiвнює 120°. Обчислiть периметр цього трикутника та радiус описаного кола.

Answer 1

Треугольник АВС: АВ=14, АС-ВС=4, угол С=120. Обозначим сторону ВС=х, тогда АС=4+х. По теореме косинусов: АВ²=АС²+ВС²-2*АС*ВС*cos 120, подставляем 14²=(4+х)²+х²-2(4+х)х*(-1/2). 196=16+8x+2x²+4x+x²; x²+4x-60=0; D=16+240=256; x=(-4+16)/2=6 см это ВС, тогда АС=4+6=10 см. Периметр Р=6+10+14=30. Площадь S= 1/2*ВС*АС*sin 120=1/2*6*10*√3/2=15√3. Радиус R=AB*BC*AC/4S=14*6*10/4*15√3=14√3.

Answer 2

Позначимо невідомі сторони трикутника як x та y, тоді маємо систему рівнянь:

• x - y = 4 (різниця двох інших сторін дорівнює 4)
• x + y + 14 = P (P - периметр трикутника)

Розв'язуємо її методом елімінації:

• додаємо перше рівняння до другого: 2x + 14 = P + 4
• знаходимо значення x: x = (P - 10) / 2
• підставляємо x у перше рівняння та знаходимо значення y: y = (P - 18) / 2

За теоремою косинусів, знаходимо третю сторону трикутника: cos(120°) = (y^2 + x^2 - 14^2) / (2xy) -1/2 = (P^2 - 524) / (2(P - 10)(P - 18)) P^2 - 524 = -P^2 + 28P + 180 2P^2 - 28P - 704 = 0 P^2 - 14P - 352 = 0 (P - 28)(P + 14) = 0

Отже, P може бути або 28, або -14. Оскільки периметр не може бути від'ємним числом, то P = 28. Підставляємо значення P у вирази для x та y, та знаходимо їх: x = (28 - 10) / 2 = 9 y = (28 - 18) / 2 = 5

Тепер знаходимо площу трикутника за формулою Герона: s = (x + y + 14) / 2 = 14.0 S = sqrt(s(s-x)(s-y)(s-14)) = 42

Знаходимо радіус описаного кола за формулою: R = (xy*14) / (4S) = 35/6

Отже, периметр цього трикутника дорівнює 28 см, а радіус описаного кола дорівнює 35/6 см.