Question

В треугольнике АВС ВМ-медиана и ВН высота.Известно,что АС=2 и ВС=ВМ. найдите АН

Answer 1

Тр-к МВС равнобедр  т.к.ВС=ВМ  ВН-высота и медиана след.МН=НС АМ=МС=1 МН=НС=1/2  АН=АМ+МН=1+1/2=1,5

Answer 2

Чтобы найти АН, нужно воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника АВН, так как ВН - высота треугольника АВС:

Copy code
АН² + ВН² = АВ²

Также, по определению медианы, ВМ делит сторону АС пополам, то есть АМ = МС = 1. Тогда:

Copy code
АВ² = АМ² + МВ² = 1 + ВМ²

Подставляем это выражение в первое уравнение:

Copy code
АН² + ВН² = 1 + ВМ²

Также из условия задачи известно, что ВС=ВМ, то есть ВС² = ВМ². Заменяем ВМ² на ВС²:

Copy code
АН² + ВН² = 1 + ВС²

Так как ВН - высота, то ВН² = ВС * НС, где НС - другая катета прямоугольного треугольника ВНС, а ВС мы знаем из условия:

Copy code
ВН² = ВС * НС = ВС * АН

Подставляем это выражение в предыдущее уравнение:

Copy code
АН² + ВС * АН = 1 + ВС²

Выражаем АН:

scssCopy code
АН² + ВС * АН - (1 + ВС²) = 0

Решаем квадратное уравнение относительно АН:

scssCopy code
АН = (-ВС ± √(ВС² + 4))/2

Так как АН - длина стороны треугольника, то она не может быть отрицательной. Из двух возможных значений выбираем ту, которая больше нуля:

scssCopy code
АН = (-ВС + √(ВС² + 4))/2

Теперь подставляем значение ВС, которое известно из условия:

scssCopy code
АН = (-ВМ + √(ВМ² + 4))/2 = (-ВС + √(ВС² + 4))/2

Осталось только найти значение ВМ:

scssCopy code
ВМ² = ВС² = (ВН² + НС²) / 4 = (ВН² + АН²) / 4

Подставляем значение ВМ² в предыдущее уравнение и решаем его относительно АН:

scssCopy code
АН = (-ВМ + √(ВН² + АН²))/2
АН² = ВН² - (АН² / 4)
5/4 * АН² = ВН²
АН² = (4/5) * ВН²

Теперь можно подставить значение ВН² и получить итоговый ответ:

scssCopy code
АН = √(4/5 * ВС²) =