Question

В тетраэдре ABCD угол BAC равен углу ACD, а угол ABD равен углу BDC. Докажите, что AB = CD.

Answer 1

Так как ∠BAC=∠ACD ⇒ AD = BC ⇒  Скрещивающиеся ребра тетраэдра равны. ⇒ Это равногранный тетраэдр. Так как это равногранный тетраэдр, AB = CD. 

Answer 2

Для доказательства равенства AB = CD в тетраэдре ABCD, даны следующие условия:

1. Угол BAC равен углу ACD.
2. Угол ABD равен углу BDC.

Для начала, допустим, что AB ≠ CD и проведем рассуждения от противного.

Предположим, что AB > CD. Рассмотрим треугольники ABC и CDA.

У нас есть следующие равенства углов:

1. Угол BAC = углу ACD (дано)
2. Угол ABD = углу BDC (дано)
3. Угол ABC = угол CDA (внутренний угол тетраэдра ABCD)

Теперь рассмотрим длины сторон в треугольниках ABC и CDA.

Так как AB > CD, то сторона AB длиннее стороны CD: AB > CD ...(1)

В треугольнике ABC у нас имеется следующее соотношение: BC > CA + AB ...(2)

В треугольнике CDA у нас имеется следующее соотношение: CA + AD > CD ...(3)

По неравенству треугольника, в треугольнике ABC должно быть соблюдено соотношение: BC < CA + AB ...(4)

Но у нас получается противоречие, так как соотношение (2) говорит, что BC больше, чем сумма CA и AB, а соотношение (4) говорит, что BC должно быть меньше, чем сумма CA и AB.

Таким образом, наше предположение AB > CD приводит к противоречию.

Мы можем провести аналогичные рассуждения для случая CD > AB и придти к противоречию.

Таким образом, мы доказали, что AB не может быть больше или меньше CD. Следовательно, AB = CD.

Таким образом, доказано, что в тетраэдре ABCD, если угол BAC равен углу ACD и угол ABD равен углу BDC, то AB = CD.