Question

Помогите 60 баллов Вершины треугольника ABC имеют координаты A(-2,0,1), B(-1,2,3) C( 8,-4,9). Найти периметр и площадь треугольника

Answer 1

Определим координаты сторон треугольника (от координат конца вычитаем координаты начала):

$AB(1; 2; 2); \ BC (9; -6; 6); \ AC (10; -4; 8)$

Найдём длину стороны:

$AB = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

$BC = \sqrt{9^{2} + (-6)^{2} + 6^{2}} = \sqrt{81 + 36 + 36} = \sqrt{153} = 3\sqrt{17}$

$AC = \sqrt{10^{2} + (-4)^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100 + 16 + 64} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$

Отсюда периметр равен:

$P = AB + BC + AC = 3 + 3\sqrt{17} + 6\sqrt{5}$

Определим площадь треугольника по формуле Герона:

$p = \dfrac{P}{2} = \dfrac{3 + 3\sqrt{17} + 6\sqrt{5}}{2}$

$S = \sqrt{p(p - AB)(p-BC)(p-AC)} =\\\\= \sqrt{\dfrac{3 + 3\sqrt{17} + 6\sqrt{5}}{2} \bigg(\dfrac{3 + 3\sqrt{17} + 6\sqrt{5}}{2} - 3 \bigg)\bigg(\dfrac{3 + 3\sqrt{17} + 6\sqrt{5}}{2} - 3\sqrt{17}\bigg)\bigg(3 + 3\sqrt{17} + 6\sqrt{5}}{2} - 6\sqrt{5} \bigg)} = 18$

Ответ: $P = 3 + 3\sqrt{17} + 6\sqrt{5}; \ S = 18$

Замечание. Вычисление площади треугольника упущено, ответ точный.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые понятия из геометрии. Периметр треугольника вычисляется как сумма длин его сторон, а площадь треугольника можно найти с помощью формулы Герона, используя длины сторон.

Шаг 1: Найдем длины сторон треугольника ABC.

Для вычисления длин сторон нам понадобится использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

где (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) - координаты двух точек, а d - расстояние между ними.

Для стороны AB:

d_AB = √((-1 - (-2))² + (2 - 0)² + (3 - 1)²) = √(1² + 2² + 2²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3

Для стороны AC:

d_AC = √((8 - (-2))² + (-4 - 0)² + (9 - 1)²) = √(10² + (-4)² + 8²) = √(100 + 16 + 64) = √180 = 6√5

Для стороны BC:

d_BC = √((8 - (-1))² + (-4 - 2)² + (9 - 3)²) = √(9² + (-6)² + 6²) = √(81 + 36 + 36) = √153 = 3√17

Шаг 2: Вычислим периметр треугольника.

Периметр (P) треугольника ABC равен сумме длин его сторон:

P = AB + AC + BC = 3 + 6√5 + 3√17

Шаг 3: Вычислим площадь треугольника.

Площадь (S) треугольника ABC можно найти с помощью формулы Герона:

S = √(p(p - AB)(p - AC)(p - BC))

где p - полупериметр треугольника, определяемый как половина суммы длин сторон:

p = (AB + AC + BC) / 2

S = √((3 + 6√5 + 3√17)(3 + 6√5 + 3√17 - 3)(3 + 6√5 + 3√17 - 6√5)(3 + 6√5 + 3√17 - 3√17))

Simplified S = √((3 + 6√5 + 3√17)(6