Question

Апофемы противолежащих граней правильной четырехугольной пирамиды взаимно перпендикулярны. Найдите сторону основания пирамиды, если апофема равна 1м.

Answer 1

Апофема - высота боковой грани.
Апофемы противолежащих граней правильной четырехугольной пирамиды и
отрезок, равный длине стороны основания пирамиды, образуют равнобедренный прямоугольный треугольник.
Катет данного треугольника = 1 (м)
Значит гипотенуза равна √2 (м) по теорема Пифагора.
Гипотенуза этого треугольника равна стороне основания пирамиды.
Ответ: √2 м

Answer 2

Для решения задачи мы можем воспользоваться формулой для вычисления площади основания правильной четырехугольной пирамиды:

S = 2a²,

где a - сторона основания.

Также мы можем воспользоваться формулой для вычисления объема правильной четырехугольной пирамиды:

V = (1/3) * S * h,

где h - высота пирамиды.

Для нахождения высоты пирамиды мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного половиной диагонали основания (это равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами a/2 и апофемой) и высотой пирамиды (это гипотенуза):

h² = (a/2)² + ap²,

где ap - апофема.

Подставляя выражение для h² в формулу для V и заменяя S на 2a², получаем:

V = (1/3) * 2a² * sqrt((a/2)² + ap²).

Так как в условии задачи дано значение апофемы ap = 1 м, мы можем выразить a из последнего уравнения:

V = (1/3) * 2a² * sqrt((a/2)² + 1²),

V = (1/3) * a² * sqrt(a²/4 + 1).

Так как пирамида правильная, ее боковые грани равнобедренные, то есть их высота равна апофеме. Используя те же соображения, что и выше, можно получить, что боковая грань пирамиды равна 2a²/(a²/4 + 1). Так как боковых граней четыре, мы можем записать:

S = 4 * 2a²/(a²/4 + 1) = 8a²/(a²/4 + 1).

Теперь мы можем решить уравнение относительно a. Для этого мы заменяем S на 2a² и получаем:

2a² = 8a²/(a²/4 + 1),

2(a²/4 + 1) = a²,

2a² - 8a²/4 = 4,

a²/2 = 4,

a² = 8,

a = sqrt(8) = 2sqrt(2).

Таким образом, сторона основания пирамиды равна 2sqrt(2) м.