Question

На катете АС прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность W, которая пересекает гипотенузу АВ в точке D. Через точку D проведена касательная к окружности . Докажите, что она пересекает катет ВС в его середине!!!!!! Гребанная олимпиада!!!!

Answer 1

O - центр окружности. M - точка пересечения касательной и катета BC.

Радиус в точку касания перпендикулярен касательной. BC - касательная.

MD, MC - касательные из одной точки. OM - биссектриса COD.

A=COD/2=COM (вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу).

OM||AB (т.к. соответственные углы равны).

O - середина AC => M - середина BC (по теореме о пропорциональных отрезках)

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим треугольник ACD и его вписанную окружность W.

По свойству касательных к окружности, угол ADC равен углу, образованному касательной и хордой, проходящей через точку касания. Поэтому угол ADC равен углу BAC.

Также из свойств окружности следует, что угол ACD равен половине угла BAC, поскольку это угол, соответствующий дуге BD, которая является половиной дуги AB.

Из этих двух равенств следует, что угол ACB равен углу ACD, так как они оба равны половине угла BAC. Из этого следует, что CD делит угол ACB пополам.

Также из свойств вписанной окружности следует, что угол ADB равен углу ACB, так как они оба опираются на дугу AB.

Из этих двух равенств следует, что угол ADB также делит угол ACB пополам.

Таким образом, CD является биссектрисой угла ACB, а значит, точка пересечения CD и BC лежит на середине катета BC. Это и требовалось доказать.