Question

В четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны. Докажите, что плоскость BMD перпендикулярна прямой SC, где M - середина ребра SC

Answer 1

Надо доказать, что углы SMO и SMD прямые

 

Т.к. все ребра равны (путь a), то треугольник SCD - равносторонний значит DM является и медианой и высотой, т.е. угол DMS=90

 

Т.к. AB=AD=a то по т. Пифагора $BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

Так же по т.Пифагора: $SO=\sqrt{SD^2-OD^2}=\sqrt{a^2-(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2}=\sqrt{\frac{2a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Т.к. CO=OD=SO то треугольник SOC равнобедренный, ОМ - медина и высота то угол SMO=90

Answer 2

Рассмотрим треугольники SMC и BMC. Так как все ребра пирамиды равны, то они равнобедренные треугольники. Кроме того, по условию задачи, ребро SC является общей стороной этих треугольников. Следовательно, углы MSC и MBC равны.

Также заметим, что угол SMD является прямым, так как MD - середина гипотенузы треугольника MSC. Тогда, используя свойства равнобедренных треугольников, можно сделать вывод, что углы SMD и BMD равны.

Итак, у нас есть две пары равных углов в треугольниках SMC и BMC. Следовательно, эти треугольники подобны. Тогда соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

Отсюда следует, что отрезок BD, лежащий на линии MC, делит SC пополам. А так как M - середина ребра SC, то отрезок BM также является медианой треугольника SBC.

Теперь мы можем применить свойство медианы в треугольнике, которое гласит, что медиана, проведенная к стороне треугольника, делит ее пополам и перпендикулярна этой стороне. Следовательно, плоскость BMD перпендикулярна прямой SC, что и требовалось доказать.