Question

Из точки А, удаленной от плоскости на 36 см, проведены к плоскости перпендикуляр и две наклонные,образующие с плоскостью углы 60 и 45 градусов.Найти длнины наклонных и их проекции на плоскость.

Answer 1

$\alpha$ - плоскость
$A$ ∉  $\alpha$
$AM$ ⊥  $\alpha$
$AM=36$ см
$AB$ и  $AC-$ наклонные
$BM$ и  $MC-$ проекции
$\ \textless \ ABM=60к$
$\ \textless \ ACM=45к$
$AB-$ ?
$AC-$ ?
$BM-$ ?
$MC-$ ?

$AM$ ⊥  $\alpha$
Δ  $AMB-$ прямоугольный
$\frac{AM}{AB}=sin\ \textless \ ABM$
$\frac{36}{AB}=sin\ \textless \ 60к$
$\frac{36}{AB}= \frac{ \sqrt{3} }{2}$
$AB= \frac{36*2}{ \sqrt{3} } = \frac{72 \sqrt{3} }{3} =24 \sqrt{3}$ см
$\ \textless \ BAM=180к-(\ \textless \ ABM+\ \textless \ AMB)=180к-(60к+90к)=30к$
$BM= \frac{1}{2} AB$  ( как катет, лежащий против угла в 30°)
$BM= \frac{1}{2} *24 \sqrt{3} =12 \sqrt{3}$ см
Δ  $AMC-$ прямоугольный
$\ \textless \ MCA=45к$
$\ \textless \ MAC=180к-(\ \textless \ MCA+\ \textless \ AMC)=180к-(45к+90к)=45к$
$AM=MC=36$ см
$\frac{AM}{AC}=sin\ \textless \ ACM$
$\frac{36}{AC}=sin\ \textless \ 45к$
$\frac{36}{AC}= \frac{ \sqrt{2} }{2}$
$AC= \frac{36*2}{ \sqrt{2} } = \frac{72 \sqrt{2} }{2}=36 \sqrt{2}$ см

Ответ: 24√3 см; 12√3 см; 36 см; 36√2 см

Answer 2

Для решения задачи мы можем использовать теорему Пифагора и тригонометрические соотношения.

Пусть точка А находится на расстоянии 36 см от плоскости. Обозначим точку пересечения перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость, через О. Также обозначим точки пересечения наклонных с плоскостью через В и С соответственно.

Так как наклонные образуют углы 60 и 45 градусов с плоскостью, то треугольник АВО является равносторонним, а треугольник АСО - прямоугольным. Из этого следует, что:

• Длина наклонной АВ равна 2/3 от расстояния от точки А до плоскости: AB = 2/3 * 36 см = 24 см.
• Длина наклонной АС можно найти с помощью теоремы Пифагора в треугольнике АСО: AC² = AO² + OC². Мы знаем, что AO = 36 см и угол AOC равен 45 градусов, поэтому OC = AO * cos 45° = 36 * √2 / 2 = 18√2 см. Таким образом, AC² = 36² + (18√2)² = 1296 + 648 = 1944, откуда AC = √1944 = 6√6 см.

Чтобы найти проекции наклонных на плоскость, мы можем использовать тригонометрические соотношения. Обозначим углы между наклонными и плоскостью через α и β соответственно. Тогда проекции наклонных на плоскость будут равны:

• Проекция наклонной АВ на плоскость равна AV * sin α, где AV = AB = 24 см. Угол α равен 60 градусов, поэтому sin α = √3 / 2. Таким образом, проекция наклонной АВ на плоскость равна 24 * √3 / 2 = 12√3 см.
• Проекция наклонной АС на плоскость равна АS * sin β, где АS = AC = 6√6 см. Угол β равен 45 градусов, поэтому sin β = 1 / √2. Таким образом, проекция наклонной АС на плоскость равна 6√6 / √2 = 3√12 =