Question

Перпендикуляры, проведенные из точки пересечения диагоналей прямоугольника к двум его соседним сторонам, равны 4 см и 9 см. Найдите периметр прямоугольника. В ответ введите только число.

Answer 1

Дано: АВСД -прямоугольник, АС и ВД - диагонали, КО⊥ВС, МО⊥АВ. КО=4 см, МО=9 см. Найти Р (АВСД).

Решение: диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам; отсюда АО=ОС; ВО=ОД.

Рассмотрим ΔАВС, где КО - средняя линия. АВ=2КО=4*2=8 см.

Рассмотрим ΔВАД, где МО - средняя линия. АД=2МО=9*2=18 см.

Р=2(АВ+АД)=2(8+18)=2*26=52 см.

Ответ: 52 см.

Answer 2

Пусть $ABCD$ -- наш прямоугольник, где $AC$ и $BD$ -- диагонали, а $E$ -- точка их пересечения. Тогда по свойству прямоугольника $AE=EC$ и $BE=ED$, а также $AE^2 + BE^2 = EC^2 + ED^2$, так как это длины перпендикуляров, опущенных из вершины прямоугольника на его стороны.

Пусть $AE=EC=x$ и $BE=ED=y$, тогда имеем систему уравнений: $\begin{cases}x^2 + y^2 = 81 \\ (2x)^2 + y^2 = 16\end{cases}$

Решая ее, находим $x=3$ и $y=6$. Теперь можем найти длины сторон прямоугольника: $AB = ED = 6 \text{ см}$ $BC = AE = 3 \text{ см}$

Следовательно, периметр прямоугольника равен: $2(AB + BC) = 2(6 + 3) = 18 \text{ см}$

Ответ: 18.