Question

Равностронний треугольник ,сторона которго равна 8 см,вращается вокруг прямой,содеращей вершину тругольника и параллельной стороне,не содрежащей эту вершину.Найдите Объем полученного тела вращения. 

Answer 1

Через вершину, где провели ось проводим высоту, которая будет и радиусом тела вращения. Высота правильного треугольника h=a*корень(3)/2=4*корень(3)=R,H=a/2=4

V(иском.)=2*(V(половина цилиндра)-V(одного конуса)=2(пи*R^2*H-1/3*R^2*H)=2*2/3*пи*R^2*H=4/3*пи*48*4=256*пи.

Answer 2

Чтобы найти объем тела вращения, сформированного вращением равностороннего треугольника вокруг прямой, содержащей его вершину и параллельной одной из его сторон, мы можем использовать формулу объема вращения.

Формула объема вращения вокруг оси x: V = ∫[a, b] A(x) dx,

где A(x) - площадь поперечного сечения тела вращения на расстоянии x от оси вращения, [a, b] - интервал, на котором происходит вращение.

В данном случае, поперечное сечение тела вращения будет кругом радиусом, равным расстоянию от вершины треугольника до оси вращения. Так как треугольник равносторонний, сторона равна 8 см, а высота треугольника равна (8√3)/2 = 4√3 см.

Таким образом, радиус поперечного сечения будет 4√3 см для любого расстояния x от оси вращения.

Теперь нам нужно найти интервал [a, b]. Для этого рассмотрим треугольник. Если ось вращения параллельна одной из сторон треугольника, то поперечное сечение будет полным кругом только в том случае, если ось проходит через центр окружности, описанной около треугольника. В данном случае, ось проходит через вершину треугольника, поэтому поперечное сечение будет полукругом.

Расстояние от вершины треугольника до одной из его сторон равно высоте треугольника, то есть 4√3 см. Это и будет радиусом полукруглого сечения.

Таким образом, наше поперечное сечение - это полукруг радиусом 4√3 см.

Теперь мы можем записать формулу объема вращения:

V = ∫[a, b] A(x) dx,

где A(x) = πr^2 - площадь полукруга на расстоянии x от оси вращения.

Так как полукруг имеет половину площади круга, площадь полукруга можно записать как (1/2)πr^2.

Таким образом, формула объема вращения принимает вид:

V = ∫[a, b] (1/2)πr^2 dx.

В нашем случае, r = 4√3 см.

Так как ось вращения параллель