Question

В равнобедренной прямоугольный треугольника вписан ромб так как, что один острый угол у ный общий а все вершины ромба лежат на странах треугольника. найдите сторона ромба, если катет треугольника равен (2+√2)/5

Answer 1

Поскольку АВС- равнобедренной прямоугольный треугольник, ∠CAB=45°.
Большая диагональ вписанного ромба- его биссектриса, и ∠DAB=α= 45/2=22.5°
Сторона ромба AE=AF/cosα
AF=AD/2
AD=AB/cosα
$AE=\frac{ \frac{AB}{cos \alpha } /2}{cos \alpha }= \frac{AB}{2cos ^{2} \alpha }$ 
cos22.5°=(√(2+√2))/2
Из условия, AB= (2+√2)/5
Значит,
  $AD=\frac{(2+ \sqrt{2})/5}{2( \sqrt{(2+\sqrt{2}} /2)^{2}}= \frac{(2+ \sqrt{2})}{2*5(2+ \sqrt{2})/4} =4/10$

Answer 2

Пусть сторона ромба равна 'x'. Так как ромб вписан в равнобедренный прямоугольный треугольник, его диагонали равны катету треугольника. Пусть диагональ ромба равна 'd'. Тогда у нас есть следующие равенства:

d = (2 + √2)/5 d = x√2/2

Приравняем эти выражения:

x√2/2 = (2 + √2)/5

Перемножим оба выражения на 2:

x√2 = (4 + 2√2)/5

Теперь избавимся от корня, перемножив оба выражения на √2:

2x = (√2(4 + 2√2))/5

Раскроем скобки:

2x = (4√2 + 2(√2)^2)/5 2x = (4√2 + 2*2)/5 2x = (4√2 + 4)/5

Теперь умножим оба выражения на 5/2:

5x = 4√2 + 4 x = (4√2 + 4)/5

Итак, сторона ромба равна (4√2 + 4)/5.