Question

На прямой отметили точки А, В и С так, что точка В лежит между А и С и ВС =2АВ. На отрезке ВС отметили точку D так, что BD:DC = 3:7. Найди расстояние между серединами АВ и СD, если СD на 16см длиннее отрезка ВD.   Помогите пожалуйста ))

Answer 1

пусть ВД=3Х, а СД= 7Х значит ВС=10Х. тк ВС=2АВ то АВ=5Х и АС=15Х, 

тк СД-ДВ=16см,  и СД-ДВ=7Х-3Х=4Х, значт 4Х=16, Х=4

искомое расстояние:

15х-2,5х-3,5х=9х или 2,5х+3х+3,5х=9х 

9х=36см

 

Answer 2

Рассмотрим треугольник $ABC$, где $AB=x$, $BC=2x$, и $BD:y=(3/10)BC$, $DC:z=(7/10)BC$. Тогда $y=(3/10)(2x)=3x/5$ и $z=(7/10)(2x)=14x/25$. Заметим, что $BD+DC=BC$, что дает нам следующее уравнение: \begin{align*} y+z&=2x \ \frac{3x}{5}+\frac{14x}{25}&=2x \ \frac{17x}{25}&=2x \ x&=\frac{50}{17}z \end{align*} Теперь рассмотрим отрезки $AE$ и $CF$, где $E$ и $F$ - середины отрезков $AB$ и $CD$ соответственно. Заметим, что $AE=(1/2)AB$ и $CF=(1/2)(BD+DC)=(1/2)BC$, так как $BD+DC=BC$. Тогда $BF=CF-BD=(1/2)BC-(3/10)BC=(1/5)BC$ и $DF=DC-(7/10)BC=(3/10)BC$. Таким образом, получаем следующее уравнение для расстояния между $E$ и $F$: \begin{align*} EF &= \sqrt{AE^2+AF^2} \ &= \sqrt{\left(\frac{1}{2}AB\right)^2+\left(\frac{1}{2}BC-\frac{1}{5}BC\right)^2+\left(\frac{3}{10}BC\right)^2} \ &= \sqrt{\frac{1}{4}x^2+\frac{9}{100}x^2} \ &= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{17}{25}}x \ &= \frac{10}{17}z\sqrt{\frac{17}{25}} \ &= \frac{10}{5}\sqrt{\frac{3}{5}}z \ &= 2\sqrt{\frac{3}{5}}z \ &= 2\sqrt{\frac{3}{5}}\cdot\frac{25}{17}x \ &= \frac{10}{\sqrt{17}}x. \end{align*} Теперь осталось найти значение $x$. Заметим, что $BD=(3/10)BC=(3/10)(2x)=3x/5$ и $CD=(7/10)BC=(7/10)(2x)=14x/5$. Из условия задачи, мы знаем, что $CD=BD+16$, что дает нам следующее уравнение: \begin{align*} \frac{14}{5}x-\frac{3}{5}x&=16 \ x&=\frac{100}{17}. \end{align*} Тогда расстояние между $E$ и $F$ равно:

$$EF=\frac{10}{\sqrt{17}}\cdot\frac{100}{17}=\frac{1000}{17\sqrt{17}}\approx32.$$