Question

докажите, что высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Answer 1

Давайте рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC. Пусть H - высота, проведенная из вершины A к основанию BC.

Чтобы доказать, что высота AH является медианой, нам нужно показать, что точка H делит основание BC пополам.

Рассмотрим треугольник AHB. У него две стороны AH и AB равны, так как они являются радиусами основания. Угол AHB также равен углу ABH, так как стороны AH и AB равны.

Из этих фактов следует, что треугольник AHB является равнобедренным.

Таким образом, стороны BH и AH равны друг другу.

Теперь рассмотрим треугольник AHC. У него две стороны AH и AC равны, так как они являются радиусами основания. Угол AHC также равен углу ACH, так как стороны AH и AC равны.

Из этих фактов следует, что треугольник AHC является равнобедренным.

Таким образом, стороны CH и AH равны друг другу.

Поскольку AH равна и BH, и CH, это означает, что точка H делит основание BC пополам. Следовательно, высота AH является медианой.

Теперь рассмотрим доказательство того, что высота AH является биссектрисой.

Мы уже знаем, что треугольник AHB является равнобедренным, поэтому угол BAH равен углу BHA, так как стороны AH и AB равны.

Аналогично, треугольник AHC также является равнобедренным, поэтому угол CAH равен углу CHA, так как стороны AH и AC равны.

Из этих фактов следует, что угол BAH равен углу CAH.

Таким образом, высота AH делит угол BAC пополам, что является определением биссектрисы.

Следовательно, высота AH одновременно является и медианой, и биссектрисой в равнобедренном треугольнике ABC.