Question

Угол при вершине осевого сечения конуса равен 90 градусов, радиус вписанного в конус шара равен 3 корень из 2 - 3. Объем конуса равен?Варианты ответов: 8п, 6 корень из 3п, 42, 9п, 27п.

Answer 1

сделаем построение по условию

на рисунке осевое сечение шара и конуса (вертикальный разрез через вершину конуса)

r -радиус вписанной окружности, он же радиус шара вписанного в конус

r=3√2-3

треугольник АВС –равнобедренный, прямоугольный   <ABC=90 град

<A=<C=45 град

BC1 - высота,биссектриса,медиана

<B1BO=<ABC1=90/2=45

OB1=r -перпендикуляр в точке касания

OС1=r -перпендикуляр в точке касания

треугольник B1BO –равнобедренный, прямоугольный   < BB1O =90 град

BO=B1O / sin<B1BO =r / sin45 =(3√2-3) / 1/√2 =6-3√2

BC1=BO+OC1=6-3√2 +r =6-3√2 +3√2-3=3    - это высота пирамиды

треугольник ABC1 –равнобедренный, прямоугольный   <AC1B =90 град

<A=<ABC1=45 град

AC1=BC1=3

AC1– это радиус основания

Площадь основания So= pi*AC1^2 = pi*3^2=9pi

Объем конуса  V=1/3 *BC1 *So=1/3 *3 *9pi = 9pi =9п