Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО НАДО!!!! В прямоугольном треугольнике АВС ( угол С=90 градусов) проведена биссектриса ВD. Найдите острые углы треугольника АВС, если угол ВDС=36 градусов. С доказательством полным Заранее спасибо

Answer 1

Угол А=36°, В=54°. Т.к. треугольник прямоугольный.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства биссектрис треугольника.

Пусть угол BAC равен α, а угол ABC равен β. Также пусть угол BDC равен γ.

Тогда по свойству биссектрисы:

BD/DC = AB/AC

Мы знаем, что угол BDC равен 36 градусам, поэтому мы можем записать:

BD/DC = sin(36)/sin(54)

Также, по теореме синусов в треугольнике ABC:

AB/AC = sin(β)/sin(α)

Соединяя эти два уравнения, мы получаем:

sin(β)/sin(α) = sin(36)/sin(54)

Теперь мы можем использовать свойства тригонометрических функций, чтобы выразить sin(α) через sin(β). Воспользовавшись тригонометрическим тождеством sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ), мы можем записать:

sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

sin(2β) = 2sin(β)cos(β)

Также, мы знаем, что углы α и β являются острыми углами треугольника, поэтому sin(α) > 0 и sin(β) > 0.

Теперь мы можем выразить sin(α) через sin(β) и подставить в уравнение, которое мы получили выше:

sin(α) = sin(β)sin(54)/sin(36)

sin(2α) = 2sin(β)sin(54)cos(α)/sin(36)

sin(2β) = 2sin(β)cos(β)

Теперь мы можем решить систему уравнений:

sin(α) = sin(β)sin(54)/sin(36)

sin(2α) = 2sin(β)sin(54)cos(α)/sin(36)

sin(2β) = 2sin(β)cos(β)

Из третьего уравнения мы можем выразить cos(β) через sin(β):

cos(β) = sqrt(1 - sin^2(β))

Теперь мы можем подставить это выражение для cos(β) во второе уравнение и решить его относительно cos(α):

sin(2α) = 2sin(β)sin(54)sqrt(1 - sin^2(β))/sin(36)

cos(α) = ±sqrt((1 + cos(2α))/2)

Используя тригонометрическое тождество cos(2α) = 1 - 2sin^2(α), мы можем выразить cos(α) через sin(α) и подставить выражение для sin(α), которое мы получили ранее:

cos(α) = ±sqrt