Question

Точка, удаленная от каждой стороны правильного треугольника на 10 см, находится на расстоянии 6 см от плоскости треугольника. Найдите площадь треугольника.

Answer 1

Точка, удаленная от каждой стороны правильного треугольника на 10 см, находится на расстоянии 6 см от плоскости треугольника. Найдите площадь треугольника.

Answer 2

Давайте обозначим вершины правильного треугольника как A, B и C. Пусть точка, удаленная на 10 см от каждой стороны треугольника, называется P.

Так как точка P находится на расстоянии 6 см от плоскости треугольника, можно нарисовать перпендикуляр от точки P к плоскости треугольника, образуя треугольник PQR. Пусть R будет точкой пересечения перпендикуляра с стороной AB, а Q и S будут точками пересечения перпендикуляров с сторонами BC и AC соответственно.

Так как треугольник ABC является правильным, все его стороны равны. Обозначим длину стороны треугольника как a. Тогда отрезки PR, RQ и QS будут равны 10 см каждый, так как они удалены на 10 см от сторон треугольника.

Мы знаем, что треугольник ABC - правильный, поэтому он также является равнобедренным. То есть, у него две равные боковые стороны. Так как отрезки PR, RQ и QS равны 10 см каждый, то стороны треугольника PQR также равны 10 см.

Теперь рассмотрим треугольник PQR. У него все стороны равны 10 см, что делает его равносторонним треугольником. Расстояние от центра равностороннего треугольника до любой стороны равно 2/3 от высоты. Так как высота равностороннего треугольника образует прямой угол с основанием, а расстояние от точки P до плоскости треугольника равно 6 см, высота треугольника PQR равна 6 см.

Теперь мы можем найти площадь треугольника PQR, используя формулу площади равностороннего треугольника: S = (a^2 * sqrt(3)) / 4, где a - длина стороны.

Для треугольника PQR, a = 10 см, поэтому:

S = (10^2 * sqrt(3)) / 4 = (100 * sqrt(3)) / 4 = 25 * sqrt(3) см^2.

Таким образом, площадь треугольника PQR равна 25 * sqrt(3) квадратных сантиметров.