Question

В параллелограме ABCD диагонали перпендекулярны. Докажите, что ABCD-ромб.

Answer 1

1. т.к. угол между диагоналями = 90°

2. т.к. противолежащие стороны параллельны( в параллелограмме они тож параллельны)

Answer 2

Для доказательства, что параллелограмм ABCD является ромбом, нам нужно показать, что все его стороны равны.

Поскольку диагонали перпендикулярны, мы можем использовать свойство параллелограмма, что диагонали его разделяют на две равные части. Обозначим точку пересечения диагоналей как точку O.

Так как ABCD - параллелограмм, то AD || BC и AB || CD.

Также, поскольку ABCD - параллелограмм, диагонали AO и CO делятся пополам точками B и D соответственно. Аналогично, диагонали BO и DO делятся пополам точками A и C соответственно.

Мы знаем, что AO = CO и BO = DO, так как диагонали делятся пополам.

Теперь рассмотрим треугольники ABO и CDO.

В треугольнике ABO: AB || DO (из параллельности сторон), AO = CO (по доказанному выше), и BO = DO (диагональ делится пополам). Исходя из этих фактов, треугольник ABO равнобедренный.

Аналогично, в треугольнике CDO: CD || BO, CO = AO, и DO = BO. Треугольник CDO также является равнобедренным.

Таким образом, у нас есть два равнобедренных треугольника в параллелограмме ABCD.

Из свойства равнобедренных треугольников, у которых боковые стороны равны, следует, что соответствующие им углы равны.

Углы ABO и CDO, которые лежат у оснований равнобедренных треугольников, равны.

Таким образом, получаем угол ABO = углу CDO.

Также, углы AOB и CDO являются вертикальными (они образуются пересечением диагоналей) и, следовательно, они также равны.

Из углов ABO = CDO и AOB = CDO следует, что угол AOB = углу CDO = 90 градусов.

Таким образом, у нас есть две пары равных углов, каждая из которых равна 90 градусам.

В результате, получаем, что все четыре угла параллелограмма ABCD равны 90 градусам, что является свойством ромба.

Также, поскольку