Question

в равностороннем треугольнике АВС из точки D (середины стороны ВС проведен перпендикуляр DK на сторону АС. Разложите вектор DK по векторам АС и АВ. В ответе укажите наибольший из коэффициентов разложения.

Answer 1

проведём высоту ВН

ВСН подобен DCK след-но DK=(1/2)*BH

AB*AB=AH*AH+BH*BH

AH=AB/2(в равностор.треуг.высота = медиане)

AB*AB=(AB*AB)/4+BH*BH

(3/4)AB*AB=BH*BH

BH=2DK(треуг.подобны)

DK=((корень из 3)/4)*AB

Answer 2

Пусть длина стороны треугольника АВС равна a. Тогда точка D — середина стороны ВС, и ее координаты можно выразить как D = (0, a/2). Также заметим, что вектор АС имеет координаты (a, 0), а вектор АВ — (-a/2, asqrt(3)/2), так как он направлен от точки В (-a/2, -asqrt(3)/2) к точке А (a/2, a*sqrt(3)/2) и имеет длину a.

Чтобы разложить вектор DK по векторам АС и АВ, найдем проекцию вектора DK на каждый из этих векторов. Для проекции на вектор АС нужно найти скалярное произведение вектора DK на единичный вектор, направленный вдоль АС, то есть:

proj_DK_AC = (DK · AC / |AC|) * AC/|AC|,

где знак · обозначает скалярное произведение, а |AC| — длину вектора АС. Заметим, что |AC| = a, а DK · AC = 0, так как вектор DK перпендикулярен АС, поэтому

proj_DK_AC = 0.

Для проекции вектора DK на вектор АВ нужно найти скалярное произведение вектора DK на единичный вектор, направленный вдоль АВ, то есть:

proj_DK_AB = (DK · AB / |AB|) * AB/|AB|,

где |AB| = a и

DK · AB = (DK · AC) + (AC · AB) = (DK · AC) + |AC|*|AB|*cos(60°) = a/2 * a * cos(60°) = a^2/4.

Здесь мы использовали тот факт, что угол между векторами АС и АВ равен 60°, так как треугольник АВС равносторонний. Подставляя значения, получаем:

proj_DK_AB = (a^2/4 / a) * (-a/2, asqrt(3)/2) = (-a/8, asqrt(3)/8).

Таким образом, вектор DK можно разложить по векторам АС и АВ следующим образом:

DK = proj_DK_AC + proj_DK_AB = (-a/8, a*sqrt(3)/8).

Наибольший из коэффициентов разложения равен |asqrt(3)/8| = asqrt(3)/8, что составляет около 0,217*a. Ответ: 0,217.