Question

Ученикам 8 класса ВОПРОС Диагонали AC и BD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точка O. Известно, что AO=0,5AC и BD=2BO. Стороны AB и AD относятся как 3:5. Периметр четырехугольника равен 40. Найдите сумму сторон AD и BC.

Answer 1

1) По признаку параллелограмма, АВСД - параллелограмм
2) 2(АВ+АД)=40
АВ+5/3 АВ=20
8/3 АВ=20 |: 4
2/3 АВ=5
АВ=7,5 Итак, длина АВ=7,5 см, тогда АД+ВС=2 АД=2*5/3 АВ=2*5/3*7,5 см=25 см
Ответ: 25 см

Answer 2

Обозначим длины сторон как $AB=a$, $AD=b$, $BC=c$, $CD=d$. Тогда, из отношения сторон $AB$ и $AD$, получаем $AD=\frac{5}{3}AB=\frac{5}{3}a$.

По условию, $a+b+c+d=40$. Из равенства $AO=\frac{1}{2}AC$ следует, что треугольник $AOC$ -- прямоугольный с катетами $AO$ и $OC$ и гипотенузой $AC$. Из этого можно выразить $OC$ через $AC$:

$$AC^2 = AO^2 + OC^2 = \frac{1}{4}AC^2 + OC^2,$$

откуда $OC = \frac{\sqrt{3}}{2}AC$. Также из равенства $BD=2BO$ следует, что $BO=\frac{1}{2}BD$. Из треугольника $BOD$ можно выразить $OD$ через $BD$:

$$OD^2 = OB^2 + BD^2 = \frac{1}{4}BD^2 + BD^2 = \frac{5}{4}BD^2,$$

откуда $OD=\frac{\sqrt{5}}{2}BD$.

Рассмотрим треугольник $COD$. Из него следует, что:

$$CD^2 = CO^2 + OD^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}AC\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{5}}{2}BD\right)^2 = \frac{3}{4}AC^2 + \frac{5}{4}BD^2.$$

Используя формулу косинусов для треугольника $ABC$, получаем:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\angle ABD = a^2 + b^2 - 2ab\cos\angle ABO,$$

где $\angle ABO$ -- угол между сторонами $AB$ и $BO$. Из треугольника $ABO$ следует, что $\cos\angle ABO = \frac{BO}{AB} = \frac{1}{2}$, поэтому

$$c^2 = a^2 + b^2 - ab = \left(\frac{3}{5}b\right)^2 + b^2 - \frac{3}{5}b^2 = \frac{16}{25}b^2 + b^2 - \frac{3}{5}b^2 = \frac{48}{25}b^2.$$

Теперь можем записать систему уравнений:

$$\begin{cases} a+b+c+d=40, \\ AC=\frac{2}{3}AD, \\ BD=2BO, \\ CD^2 = \frac{3}{4}AC^2 + \frac{5}{4}BD^2, \\ c^2 = \frac{48}{25}b^2. \end{cases}$$

Из второго уравнения следует, что $AD=\frac{3}{2}AC$, а из треть